A distribuição binomial negativa é um modelo de probabilidade versátil que amplia a distribuição geométrica e oferece uma alternativa flexível à distribuição de Poisson quando os dados exibem sobredispersão. Ao contrário da distribuição binomial, que conta com sucessos em um número fixo de ensaios, o binomial negativo conta o número de falhas observadas antes de um número especificado de sucessos ocorre em uma sequência de ensaios independentes de Bernoulli. Isto torna-o particularmente útil em campos que vão desde cuidados de saúde e fabricação a seguros e marketing, onde os analistas precisam modelar tempos de espera, contagem de eventos ou risco de resultados raros.

Qual é a distribuição binomial negativa?

A distribuição binomial negativa descreve a probabilidade de encontrar um determinado número de falhas (ou, dependendo da parametrização, o número total de tentativas) antes de se atingir um número fixo de sucessos. Cada tentativa tem uma probabilidade de sucesso constante \(p\), e as tentativas são independentes. A distribuição é às vezes chamada de "distribuição pascal" ou "distribuição polya" em referência ao seu desenvolvimento histórico.

Formalmente, se definirmos:

  • r = número de sucessos requerido (um número inteiro positivo),
  • p = probabilidade de sucesso num único ensaio,
  • X = número de falhas antes do sucesso r-th,

então a função de massa de probabilidade (PMF) é:

\( P( X = k) = \binom{ k + r - 1}{ k} \cdot (1- p)^k \cdot p^r\), para \( k = 0, 1, 2, \ldots\)

Aqui, \(\binom{k + r - 1}{k}\) conta o número de maneiras de organizar as falhas do \(k\) e o sucesso do \(r- 1\) antes do sucesso final. A média e variância desta distribuição são:

  • Média: \(\mu = \frac{r(1-p)}{p}\)
  • Variância: \(\sigma^2 = \frac{r(1- p)}{p^2}\)

Observe que a variância é sempre maior do que a média (desde \(1/p > 1\) para \(p)<1\)), which makes the negative binomial a natural choice for modelling overdispersed count data.

Parâmetros-chave e sua interpretação

Compreender os dois parâmetros, \(r\) e \(p\), é crucial para a aplicação correta da distribuição.

Parâmetro r: O número alvo de sucessos

No binomial negativo clássico, \(r\) é um inteiro fixo. Um \(r\) maior significa que precisamos de mais sucessos antes de parar, o que aumenta tanto o número esperado de falhas quanto a propagação da distribuição. Quando \(r = 1\), o binomial negativo reduz-se para a distribuição geométrica (esperando pelo primeiro sucesso).

Na prática estatística moderna, \(r\) é frequentemente permitido ser um número real positivo, o que permite modelar mais flexível da variância. Nesse caso, a distribuição é às vezes chamada de NB2 versão, e o PMF usa a função gama em vez de coeficientes binomiais.

Parâmetro p: A probabilidade de sucesso

Uma probabilidade de sucesso elevada \(p\) significa que os sucessos são prováveis, por isso são poucas as falhas esperadas antes de atingir o sucesso do \(r\). Por outro lado, uma baixa \(p\) (por exemplo, \(p = 0,1\)) empurra o número esperado de falhas mais alto e torna a distribuição mais direita. A interação de \(r\) e \(p\) permite o binomial negativo para modelar tanto dados de baixa dispersão quanto de alta dispersão.

Exemplos práticos e aplicações

A distribuição binomial negativa aparece em muitos contextos do mundo real, onde a contagem de eventos é de interesse e a variância excede a média.

Saúde e Epidemiologia

  • Número de visitas hospitalares antes do diagnóstico: Um paciente pode necessitar de várias consultas (falhas) antes de um diagnóstico correto (sucesso) é feito. O número de visitas anteriores pode ser modelado com uma distribuição binomial negativa.
  • Infecção de doenças em pequenas áreas: O número de casos novos de uma doença rara em uma determinada região frequentemente apresenta sobredispersão em relação a um modelo de Poisson. Epidemiologistas utilizam regressão binomial negativa para explicar a variação extra devido a fatores de risco não observados.
  • Ensaios clínicos: Num ensaio de um novo tratamento, o número de acontecimentos adversos antes de uma resposta positiva ser observada pode ser modelado, ajudando a avaliar os trade-offs entre eficácia e segurança.

Controle de Qualidade e Fabricação

  • Defeitos antes de um lote passar pela inspecção: Considere uma linha de produção onde os itens são testados sequencialmente. O número de itens defeituosos (falhas) encontrados antes do lote atingir um número pré-determinado de unidades aceitáveis (sucessos) segue uma distribuição binomial negativa.
  • Ensaio de fiabilidade: Os engenheiros podem testar componentes até que ocorra um número fixo de falhas, e depois estimar a taxa de falha. O binomial negativo encaixa-se naturalmente aqui porque o número total de componentes testados é aleatório.

Marketing e Análise ao Cliente

  • As chamadas de vendas até que um novo cliente seja adquirido: Um vendedor pode precisar de muitos contatos (falhas) antes de fechar um negócio (sucesso). O número de chamadas mal sucedidas pode ser modelado para otimizar a alocação de recursos.
  • Churn cliente: O número de interações de serviço antes de um cliente cancelar (falha para a empresa) pode ser modelado como um binomial negativo, com "sucesso" definido como o evento de retenção.

Gestão de Seguros e Riscos

  • Frequência de alegações: As companhias de seguros frequentemente modelam o número de reclamações apresentadas por um segurador ao longo de um ano. A distribuição binomial negativa lida com a superdispersão melhor do que o Poisson, capturando a variação entre motoristas, moradores, ou empresas.
  • Ciência actuarial: A distribuição é utilizada na teoria da credibilidade e para preços prémios de seguro quando dados de sinistros passados mostram alta variabilidade.

Análise de Esportes

  • Objetivos em futebol ou pontos em hóquei: O número de gols marcados por uma equipe por jogo muitas vezes exibe sobredispersão em relação a um modelo Poisson. Regressão binomial negativa fornece melhor ajuste para prever resultados de jogo.
  • O lançamento conta no basebol: O número de arremessos (perigos) antes de um arremessador registrar um certo número de arremessos (sucessos) pode ser modelado, auxiliando na gestão da carga de trabalho.

Relação com outras distribuições

A distribuição binomial negativa está intimamente ligada a vários outros modelos de probabilidade.

Distribuição Geométrica

Quando \(r = 1\), o binômio negativo reduz-se à distribuição geométrica, que modela o número de falhas antes do primeiro sucesso. Este é o caso mais simples, frequentemente usado para a análise "tempo para o primeiro evento".

Distribuição de Poisson

Tanto o binomial negativo quanto o modelo de distribuições de Poisson contam de eventos. Entretanto, o Poisson assume que a média é igual à variância, enquanto o binomial negativo permite variância > média. Na verdade, o binomial negativo pode ser derivado como uma mistura de distribuições de Poisson onde o parâmetro médio segue uma distribuição gama.Esta perspectiva hierárquica explica por que o binomial negativo é uma escolha natural quando a população é heterogênea.

Distribuição Binomial

O binômio conta sucessos num número fixo de tentativas; o binômio negativo conta falhas antes de um número fixo de sucessos. Se você trocar sucessos/falhas e reverter a regra de parada, as duas distribuições se complementam. Ambas são discretas e baseadas em testes de Bernoulli.

Mistura Gama- Poisson

Como mencionado, se \(Y"\lambda \sim \text{Poisson}(\lambda)\) e \(\lambda \sim \text{Gamma}(\alpha, \beta)\), então a distribuição marginal de \(Y\) é binomial negativo com \(r = \alpha\) e \(p = \beta/(1+\beta)\). Esta formulação é amplamente utilizada em modelos hierárquicos bayesianos e em ecologia para a contagem de abundância de espécies.

Adaptação da Distribuição Binomial Negativa aos Dados

Na prática, você observou frequentemente contagens e deseja estimar os parâmetros \(r\) e \(p\) (ou, equivalentemente, a média e um parâmetro de dispersão). Dois métodos comuns de estimativa são:

Método de Momentos

Defina a média da amostra \(\bar{x}\) e a variância da amostra \(s^2\) igual à média teórica e variância, então resolva:

\(\bar{x} = \frac{r(1-p)}{p}\), \(s^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}\).

Isto produz \( p = \bar{x} / s^2\) e \(r = \bar{x}^2 / (s^2 - \bar{x})\). Note que \(s^2\) deve ser maior do que \(\bar{x}\) para um ajuste binomial negativo válido.

Estimação máxima de probabilidade (MLE)

O MLE é preferido para a precisão. Envolve a otimização numérica da função de log-likelihood derivada do PMF. Muitos pacotes de software estatísticos (R, Python, Stata) fornecem funções incorporadas para o MLE binomial negativo, incluindo em R e em estats models (Python). O MLE pode lidar com tanto inteiro como contínuo \(r\).

Por que a distribuição binomial negativa é tão útil?

O binomial negativo faz a ponte entre o modelo de Poisson simples e o superdisperso. Sua flexibilidade permite que pesquisadores e analistas:

  • Sobredispersão do modelo: Na maioria dos dados de contagem real, a variância excede a média. O Poisson é muito restritivo; o binomial negativo proporciona um melhor ajuste sem precisar de um modelo separado de zero-inflado.
  • Incorporação heterogeneidade: Ao interpretar \(r\) como um parâmetro de forma relacionado à mistura gama subjacente, a distribuição captura naturalmente diferenças não observadas entre indivíduos ou unidades.
  • Fornecer parâmetros interpretáveis: Os parâmetros médios \(\mu\) e de dispersão \(\alpha = 1/r\) (em algumas parametrizações) são fáceis de comunicar com não-estatísticos.
  • Servir como um bloco de construção para modelos de regressão: A regressão binomial negativa estende a ideia para lidar com covariáveis, tornando-a uma ferramenta padrão em epidemiologia, ecologia e economia.

Implementação e Recursos de Software

Você pode trabalhar com a distribuição binomial negativa na maioria dos ambientes estatísticos:

  • R: Funções , , , ; e para regressão, ].
  • Python: A Scipy fornece funções de probabilidade; os modelos de estatísticas em .
  • Excel: A função retorna a massa de probabilidade para entradas dadas.
  • Stan, Winbugs, JAGS: Pacotes bayesianos incluem o binomial negativo como uma distribuição integrada para modelos hierárquicos.

Para leitura posterior, o Artigo da Wikipédia sobre a distribuição binomial negativa fornece um tratamento matemático abrangente, incluindo parametrizações alternativas. artigo original de Greenwood e Yule (1920) Para aplicações modernas em ecologia, ver Ver Hoef e Boveng (2007) quase-probabilidade versus binomial negativo.

Conclusão

A distribuição binomial negativa é uma ferramenta fundamental para quem trabalha com dados de contagem, especialmente quando a variância é maior que a média. Sua capacidade de modelar o número de falhas antes de um número fixo de sucessos torna-o diretamente aplicável aos problemas de espera-tempo, enquanto sua interpretação de mistura gama-Poisson fornece um quadro natural para o manuseio da superdispersão.Do controle de qualidade e saúde ao marketing e análise esportiva, o binomial negativo oferece uma abordagem flexível, interpretável e computacionalmente tratável. Ao entender seus parâmetros, relações com outras distribuições e métodos práticos de adaptação, analistas podem tomar melhores decisões com base em modelos probabilísticos que refletem variabilidade do mundo real.