La loi des cosines est une pierre angulaire de la trigonométrie, étendant le théorème pythagore aux triangles aigus et obtus. En tirant parti de la fonction cosine, nous pouvons dériver cette loi dans de multiples cadres géométriques, y compris le plan euclidien, les systèmes de coordonnées et les surfaces courbes comme des sphères. Cet article fournit une exploration complète de ces dérivations, montrant comment la cosine sert de pont entre les longueurs latérales et les angles dans divers contextes.

La loi des cosines dans la géométrie euclidienne

Dans un triangle euclidien standard avec côtés a, bet c, et angle C côté opposé c, la loi des Cosines est exprimée comme suit:

c2 = a2 + b2 - 2 ab pour C

Cette formule généralise le théorème pythagore : quand C = 90°, c'est 90° = 0, en réduction à c2 = a2 + b2. La dérivation repose sur la construction de gouttes perpendiculaires qui créent des triangles droits, permettant à la définition de la cosine de relier les projections latérales adjacentes à l'angle inclus.

Dérivation par coordination

Placer le vertex C à l'origine d'un système de coordonnées cartésiennes. a de se coucher le long de l'axe des x positif de C à B, donc point B = (a, 0). A est situé à (b pour C, b péché C), où b est la longueur du côté C. Le côté c est la distance entre les points A et B. utilisant la formule de distance:

c2 = (a – b pour C)2 + (0 – b péché C)2

L'expansion donne :

c2 = a2 – 2b) Abréviations pour C + b2 pour2 C + b2 péché2 C

Depuis le péché2 C + pour2 C = 1, ce qui simplifie directement c2 = a2 + b2 – 2b) Abréviations pour C. Cette approche démontre clairement comment la fonction cosinus émerge du côté projetant b sur l'axe aligné avec le côté a- Oui.

Dérivation utilisant des produits à point vectorielle

Une dérivation puissante et élégante utilise l'algèbre vectorielle. Représenter les côtés comme vecteurs: laissez u et V. être vecteurs du vertex C vers les sommets A et B respectivement. Puis côté c correspond au vecteur u – V.. Calculer la longueur carrée :

c2 = ,u – V.,2 = (u – V.) · (u – V.) = ,u,2 AutresV.,2 – 2 u · V.

Le produit à point est défini comme suit: u · V. = ,u,V., pour C = b) Abréviations pour C. Substituer donne la même formule :

c2 = a2 + b2 – 2b) Abréviations pour C

Cette méthode met en évidence la signification géométrique du cosinus comme facteur d'échelle pour la projection d'un côté sur l'autre. cette explication- Oui.

Applications en coordonnées Géométrie

Dans la géométrie coordonnée, la loi des Cosines calcule les distances et les angles entre deux points, même lorsque le triangle n'est pas à angle droit. P(x1er, y1), Q(x2 et 2 y2), et Autres(x3, y3), la distance PQ peut être exprimé en utilisant les coordonnées et l'angle Autres. Par exemple, pour trouver l'angle Autres, utiliser le produit point de vecteurs de Autres à P et Autres à Q- Oui.

pour Autres = (P – Autres) · (Q – Autres) ) / ( ,P – Autres,Q – Autres►)

Ceci est directement dérivé de la loi des Cosines et est essentiel dans des domaines comme l'informatique pour la détection des collisions et la physique pour la décomposition de la force. Pour une application pratique, envisager de déterminer la distance entre deux navires étant donné leurs roulements d'un phare — un problème de navigation classique qui repose sur cette loi.

Géométrie sphérique et droit sphérique des cosines

Sur la surface d'une sphère, les triangles sont formés par des arcs de grands cercles. La Loi euclidienne des Cosines ne tient pas; au contraire, elle généralise à la la loi sphérique des cosines. Pour un triangle sphérique avec des côtés a, b, c (mesurés comme des angles sous-tendus au centre de la sphère) et l'angle C au sommet opposé c, la loi stipule:

c = c a · c b + sin a · sin b · sin C

Cette formule réduit à la loi euclidienne lorsque les côtés sont petits par rapport au rayon de la sphère, comme cos x - x2/2 et le péché x --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x pour les petits x. La dérivation utilise le produit point de vecteurs du centre de la sphère aux sommets du triangle sur la sphère unitaire. Par exemple, laissez les vecteurs A, Bet C point vers les sommets du centre. c est l'angle entre A et B, donc parce que c = A · B. En exprimant A et B en termes C et les angles, on obtient la forme sphérique. Cette loi est critique en astronomie pour le calcul des distances entre les étoiles, en géodésie pour la cartographie, et en navigation globale. Wolfram MathWorld page- Oui.

La loi sphérique dérivée de la loi euclidienne

Considérez un triangle sur une sphère unitaire. Déposer perpendiculairement d'un vertex à l'autre côté le long de grands cercles. Utiliser la définition de cosinus pour les triangles sphériques droites — où un côté peut être exprimé par l'intermédiaire de la cosine d'un angle adjacent — on peut manipuler algébriquement pour atteindre la loi sphérique. la loi hyperbolique des cosines pour les espaces courbés négativement.

Géométries et généralisations non euclides

Le modèle de la loi des cosines s'étend au-delà des sphères à la géométrie hyperbolique, où les surfaces ont une courbure négative constante. La loi hyperbolique des cosines est:

c = csh a · csh b – sinh a · sinh b · cos C

Ici, les fonctions hyperboliques remplacent celles trigonométriques, reflétant la géométrie d'une surface en forme de selle. Cette loi émerge de la métrique du plan hyperbolique et est essentielle dans la théorie de la relativité et de l'analyse complexe. La dérivation suit une approche vectorielle similaire mais dans le cadre de l'espace hyperbolique, utilisant souvent le modèle Minkowski. Couverture de l'Académie Khan avant d'explorer les formes avancées.

Exemples pratiques et résolution de problèmes

Pour renforcer la compréhension, envisagez un triangle avec les côtés a = 7 cm, b = 10 cm, et angle C = 60°. En utilisant la loi euclidienne: c2 = 72 + 102 – 2·7·10·cos 60° = 49 + 100 – 140·0.5 = 149 – 70 = 79, donc c = ~79 φ 8,89 cm. Dans un contexte sphérique, si les mêmes longueurs latérales représentent des longueurs d'arc sur une sphère de rayon 1, et C = 60°, puis cos c = cos 7° · cos 10° + sin 7° · sin 10° · sin 60°. c dans les radians, qui peuvent ensuite être convertis en distance linéaire en multipliant par le rayon de la sphère.

Pour un problème de géométrie de coordonnées : Trouvez la distance entre les points (2,3) et (5,7) en utilisant l'angle à (0,0). u = 2,3, V. L'angle entre eux est cos φ = (2·5+3·7)/( √(4+9)· √(25+49)) = (10+21)/( √13· √74) = 31/ √962 φ 0,9998. Ensuite, en utilisant la loi des cosines avec les côtés √13 et √74, la troisième face carrée = 13+74-2· √13· √74·0,9998 φ 87-2·15.62·0,9998 φ 87-31.23 = 55.77, donc distance ÷ 7.47 unités. La distance Euclidienne directe donne √(((5-2-2)2+(7-3)2)= √(9+16)= √25=5. La différence est due au fait que l'angle n'est pas à l'origine du triangle? En fait, la loi des cosines s'applique entre les deux vecteurs du même point.

Conclusion

La fonction de cosinus fournit un fil d'analyse unique pour dériver la loi des cosines à travers les géométries euclidiennes, coordonnées, sphériques et hyperboliques. Chaque dérivation renforce la relation entre les longueurs latérales et la cosine de l'angle inclus, que ce soit par des gouttes perpendiculaires, des algèbres vectorielles ou des formulations d'espace courbé. La compréhension de ces contextes approfondit la compréhension des relations triangulaires et équipe les mathématiciens, les scientifiques et les ingénieurs d'outils pour une large gamme de problèmes, de la mesure des distances sur les cartes à la navigation du cosmos. l'article complet Wikipédia qui comprend de multiples preuves et l'histoire.