Introduction à Tangent et à Slope

La fonction tangente et la pente sont deux concepts fondamentaux qui articulent trigonométrie et géométrie de coordonnées. Bien que la pente quantifie la pente d'une ligne, la tangente d'un angle fournit un lien direct avec cette pente lorsque l'angle est mesuré à partir de l'axe des x positif. Comprendre cette relation permet aux mathématiciens, aux ingénieurs et aux étudiants de se déplacer fluidement entre les représentations géométriques et algébriques du comportement linéaire.

En géométrie des coordonnées, la pente est définie comme le rapport entre le changement vertical et le changement horizontal entre deux points distincts sur une ligne. La fonction tangente, un rapport trigonométrique primaire, donne le rapport du côté opposé au côté adjacent dans un triangle droit. m d'une ligne égale la tangente de son angle d'inclinaison α—l'angle que la ligne fait avec l'axe des x positif. Cette connexion n'est pas seulement théorique; elle sous-tend le calcul, la physique, l'ingénierie, et même les mesures quotidiennes comme le gradient d'une route ou le pas d'un toit.

Comprendre la pente dans la géométrie coordonnée

La pente est une mesure de la direction et de la pente. (x1, y1) et (x2, y2), la pente m est calculé comme suit:

m = (y2 − y1) / (x2 − x1)

Cette formule donne un nombre unique qui décrit le nombre d'unités que la ligne monte (ou tombe) pour chaque unité de mouvement horizontal. x Une pente zéro signifie que la ligne est horizontale, et une pente non définie (division de zéro) correspond à une ligne verticale.

En pratique, la pente apparaît dans de nombreux contextes : la pente d'une colline est exprimée en pourcentage; le taux de variation d'un graphique de distance-temps est la pente de la ligne; et le coût marginal en économie peut être interprété comme la pente d'une fonction de coût.

Types de pentes

  • Pente positive: La ligne monte de gauche à droite.
  • Penteil négatif: La ligne descend de gauche à droite.
  • Pente zéro : La ligne est horizontale; il n'y a pas de changement vertical.
  • Pente non définie: La ligne est verticale; la variation horizontale est nulle.

Chaque type correspond à une plage d'angles spécifique. Par exemple, une pente positive implique un angle entre 0° et 90° (sauf 0° et 90°), tandis qu'une pente négative implique un angle entre 90° et 180°.

La fonction Tangent et sa connexion à Slope

La tangente d'un angle est l'une des six fonctions trigonométriques de base. α, la tangente est définie comme suit:

tan(γ) = opposé/contourné

Dans le contexte de la géométrie des coordonnées, envisager une ligne qui fait un angle α Si nous prenons un point sur la ligne et que nous la laissons tomber perpendiculairement à l'axe des x, nous formons un triangle droit. La jambe verticale de ce triangle correspond à la montée, et la jambe horizontale correspond à la course. Par conséquent, le rapport entre la montée et la course est égal à la tangente de l'angle.

m = tan( φ)

où α est mesurée dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de l'axe des x positif à la ligne. Cette équation tient pour toutes les lignes qui ne sont pas verticales (puisque les lignes verticales ont une pente non définie et correspondent à φ = 90°, où le tan(90°) n'est pas défini).

La relation entre les deux

Laisser une ligne croiser l'axe des x à un moment donné. Tout autre point de la ligne peut être décrit en se déplaçant horizontalement par Δx et verticalement par Δy. L'angle α entre la ligne et l'axe des x est tel que:

tan(γ) = Δy / Δx

Mais Δy/Δx est précisément la définition de la pente m (fournir Δx φ 0). Par conséquent, m = tan( φ). Cette dérivation montre que la pente est simplement la tangente de l'angle d'inclinaison.

Cas particuliers

  • Ligne horizontale (α = 0°): tan(0°) = 0 → m = 0- Oui.
  • Ligne à 45°: tan(45°) = 1 → pente 1.
  • Ligne à 30°: tan(30°) = 1/ √3 ↓ 0.577 → montée douce.
  • Ligne à 60°: tan(60°) = √3 ш 1,732 → montée plus raide.
  • Ligne verticale (γ = 90°): tan(90°) est indéfini → pente indéfinie.
  • Pistes négatives: Pour les angles compris entre 90° et 180°, le tan(-) est négatif. φ = 135° donne tan(135°) = -1, donc pente = -1.

Incidences de la relation

L'équation m = tan( φ) révèle plusieurs points de vue importants:

  • Cartographie monotonique: Comme α augmente de 0° à 90°, le tan(γ) augmente de 0 vers l'infini. Ainsi, une ligne plus raide correspond à une plus grande magnitude de pente, reliant directement l'angle à la raideur.
  • Périodicité: La fonction tangente se répète tous les 180° (π radians). α et un à φ + 180° ont la même pente, parce qu'ils sont parallèles (bien que la direction opposée dans l'orientation).
  • Pistes négatives: Les angles du deuxième quadrant (90° à 180°) produisent des tangents négatifs, qui correspondent au signe des pentes pour les lignes qui tombent comme x et augmente.
  • Relation inverse: Compte tenu d'une pente, l'angle d'inclinaison peut être trouvé en utilisant la tangente inverse: Φ = arctan(m). Cependant, le résultat est toujours compris entre −90° et 90° (ou 0° et 180° avec réglages), de sorte que le quadrant doit être considéré pour les pentes négatives.

Cette connexion clarifie également pourquoi les lignes verticales n'ont pas de pente finie : la tangente de 90° est indéfinie (approaches infinity), de sorte que la pente ne peut pas être exprimée en nombre fini. En calcul, cette relation s'étend aux dérivés : la dérivée d'une fonction en un point est la pente de la tangente, qui à son tour égale la tangente de l'angle que la tangente fait avec l'axe des x.

Applications pratiques

La relation entre tangente et pente n'est pas seulement une identité mathématique abstraite; elle a des applications directes dans de nombreux domaines.

Ingénierie et construction

  • Dégradations routières: La pente d'une route (levez-vous) est souvent exprimée en pourcentage. Par exemple, une pente de 10 % correspond à une pente de 0,1, ce qui correspond à un angle d'environ 5,7°.
  • Emplacements sur le toit: La pente d'un toit est donnée comme un rapport de montée en courant (par exemple, 6/12). Ce rapport est égal à tan(-).
  • Rampes et accessibilité : Les lignes directrices de l'ADA pour les rampes pour fauteuil roulant précisent une pente maximale de 1:12 (environ 4,76°), qui vient directement de tan(φ) = 1/12- Oui.

Physique et mouvement

  • Avions inclinables: L'accélération d'un objet qui glisse vers le bas d'une pente sans frottement dépend du sinus de l'angle, mais la pente de la surface plane (tangent de l'angle) détermine la distance horizontale couverte par chute verticale.
  • Motion projectile : La pente d'une trajectoire à n'importe quel point est la tangente de l'angle de vol, qui est essentiel pour calculer la portée et la hauteur.

Graphiques et analyse des données

  • Régression linéaire: La ligne la mieux adaptée aux points de données a une pente qui peut être interprétée comme la tangente de l'angle de la tendance. Cela aide à communiquer les tendances aux publics non techniques.
  • Calcul: Le dérivé dy/dx en un point sur une courbe donne la pente de la ligne tangente. Cette pente, à son tour, est tan(-) où -- est l'angle de la ligne tangente avec l'axe des x. Cette interprétation géométrique est fondamentale dans le calcul différentiel.

Mesures quotidiennes

  • Angle d'élévation: Les arpenteurs mesurent l'angle de l'horizontale à un point, puis utilisent la tangente pour calculer les hauteurs ou les distances. d × tan(-)- Oui.
  • Conception de l'escalier: Le rapport entre la hauteur du riser et la profondeur de la bande de roulement (levez/course) est la pente de l'escalier. Les codes de construction précisent souvent les rapports maximum et minimal, qui sont dérivés de la tangente de l'angle de l'escalier.

Relation avec les dérivés dans le calcul

Dans le calcul, le concept de pente est généralisé pour les courbes à travers la dérivée. f(x), le dérivé f ′(x) en un point donne la pente de la ligne tangente à la courbe à ce point. Selon la relation discutée, cette pente est la tangente de l'angle que la ligne tangente fait avec l'axe des x:

f ′(x) = tan(γ)

Cela nous permet d'interpréter le dérivé géométriquement. Par exemple, si f ′(x) = 2, alors la ligne tangente fait un angle d'arctan(2) -63.4° avec l'axe des x. Ce point de vue est particulièrement utile pour étudier la différenciation implicite : la pente d'une courbe définie par une équation peut être trouvée en différenciant, et le résultat dy/dx est la tangente de l'angle d'inclinaison de la courbe de tangente.

De plus, la fonction dérivée elle-même peut être considérée comme une fonction -Slope. - Son graphique montre comment la raideur de la courbe originale change. Aux points où la dérivée est zéro, la ligne tangente est horizontale (φ = 0°). lorsque la dérivée n'est pas définie (par exemple, tangentes verticales), φ = 90° et la tangente n'est pas finie.

Exemples réels mondiaux

Exemple 1 : Mesure de la hauteur d'un bâtiment

Un arpenteur se trouve à 50 mètres de la base d'un bâtiment et mesure l'angle d'élévation jusqu'au sommet à 30°.

tan(30°) = hauteur/distance → hauteur = 50 × tan(30°) = 50 × 0,577 ↓ 28,85 mètres- Oui.

La pente de la ligne du regard de l'arpenteur jusqu'au sommet du bâtiment est tan(30°) -0.577. Cet exemple applique directement l'identité m = tan( φ), où ici m représente le rapport entre la distance verticale et horizontale.

Exemple 2 : Calcul de la pente

Une route monte 150 mètres sur une distance horizontale de 1 kilomètre. La pente est 150/1000 = 0,15, ou 15%. φ = arctan(0,15) φ 8,53°. Une colline plus raide avec une note de 30% correspond à φ = arctan(0,3) φ 16,7°. Ces calculs aident les conducteurs et les ingénieurs à comprendre la difficulté de l'ascension.

Exemple 3 : Conception d'une rampe

Pour une rampe pour fauteuil roulant qui doit monter 1 mètre, la pente maximale permise par de nombreux codes est 1:12 (levez:course). 1/12 - 0,0833, et l'angle est Φ = arctan(0,0833) Φ 4,76°. La rampe doit s'étendre horizontalement à au moins 12 mètres. La connexion entre la pente et la tangente assure une conception cohérente entre les différentes unités.

Résumé des principaux points

  • La pente m d'une ligne est égale à la tangente de son angle d'inclinaison α (mesuré à partir de l'axe des x positifs).
  • Cette relation est valable pour toutes les lignes non verticales; les lignes verticales correspondent à φ = 90° où le bronzage n'est pas défini.
  • Le signe de la pente correspond au signe de tan(γ) dans le quadrant correspondant.
  • La tangente inverse permet de convertir la pente en angle: Φ = arctan(m)- Oui.
  • Applications s'étend ingénierie, physique, analyse de données, et la mesure quotidienne.
  • Dans le calcul, le dérivé est égal à tan(γ) pour la ligne tangente à une courbe en un point.

La maîtrise de cette relation approfondit la capacité d'analyser les problèmes géométriques et algébriques de façon interchangeable. Elle illustre comment deux domaines apparemment distincts de mathématiques – la trigonométrie et la géométrie coordonnée – sont intimement liés, fournissant des outils essentiels pour les mathématiques supérieures et la résolution pratique des problèmes.

Pour plus de détails sur la fonction tangente et ses propriétés, voir le document complet Wikipedia article sur les fonctions trigonométriques. Le concept de pente est également couvert de manière approfondie dans la page Wikipédia sur la pente. De plus, la relation entre tangente et dérivé est discutée dans l'entrée Wikipedia sur les dérivés- Oui.