Introduction aux formules d'ajout et de soustraction de cosinus

Les formules d'addition et de soustraction de cosinus sont des identités fondamentales en trigonométrie. Elles expriment la cosine de la somme ou de la différence de deux angles en termes de sines et de cosines des angles individuels. Ces identités permettent de simplifier les expressions trigonométriques complexes et servent de base à des sujets avancés tels que l'analyse de Fourier, la mécanique des vagues et l'analyse complexe.

Formule d'ajout de cosine : cos(A + B) = cos A cos B – péché A péché B

Formule de soustraction de la cocaïne: cos(A – B) = cos A cos B + péché A péché B

Comprendre les preuves de ces formules renforce la connaissance conceptuelle de la trigonométrie et révèle les connexions entre la géométrie, l'algèbre et le calcul. Cet article présente trois preuves rigoureuses : une preuve géométrique utilisant le cercle unitaire, une preuve algébrique basée sur la formule de distance, et une preuve succincte via la formule Euler. Chaque approche offre une compréhension unique de la raison pour laquelle ces identités tiennent, confirmant leur validité universelle dans les domaines mathématiques.

Preuve géométrique utilisant le cercle d'unité

Dérivation pour addition de cosine

Commencez par un cercle d'unité centré sur l'origine O. - Laissez-moi vous dire P correspondant à l'angle A mesure dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à partir de l'axe des x positif. P sont (cos A, péché A) . De même, il faut souligner Q correspondant à l'angle B avec coordonnées (cos B, péché B) Pour trouver le cos(A + B), envisager de faire pivoter les axes de coordonnées standard par angle A pour que l'axe des x s'harmonise avec Les. Dans ce cadre rotatif, le point qui avait initialement l'angle B a maintenant un angle net de A + B par rapport à l'axe des x d'origine.

La rotation peut être exprimée à l'aide d'une matrice de rotation 2D. B, péché B) par angle A donne:

Annexe = [ pour A   –sin A - Oui.
            [ sin A       cos A - Oui.

Multiplier la matrice par le vecteur de colonne (cos B, péché B) rendements:

x = cos A pour B – le péché A péché B
y = péché A pour B + pour A péché B

Comme le point rotatif se trouve sur le cercle de l'unité, sa coordonnée x égale la cosinus de l'angle total A + B. Par conséquent:

cos(A + B) = cos A cos B – péché A péché B

Cette dérivation illustre comment la rotation transforme le problème en un réglage de géométrie de coordonnées, rendant la formule d'ajout visuellement intuitive.

Dérivation pour soustraction de cosine

La formule de soustraction découle directement de la formule d'ajout en remplaçant B avec –B. Utilisation des propriétés paires et étranges de la cosine et du sinus—cos(–B) = cos B et le péché (–B) = –sin B—nous calculons:

pourA – B) = cos(A + (–B)) = cos A pourB) – péché A péché(–B) = cos A pour B + péché A péché B

Ainsi, la formule de soustraction émerge naturellement des propriétés symétriques du cercle unitaire. Cette approche renforce que le changement de signe dans le terme sinus est une conséquence directe de l'étrangeté sinusienne.

Preuve algébrique utilisant la formule de distance

Une autre approche utilise la distance euclidienne entre deux points sur le cercle d'unité. Cette méthode ne repose que sur la géométrie de coordonnées et la loi des cosines, ce qui la rend purement algébrique. P et Q soit des points sur le cercle de l'unité à angles A et B respectivement.

  • Coordonnées : P = (cos A, péché A), Q = (cos B, péché B)
  • Distance au carré (par différence de coordonnées): (cos A – pour B)2 + (sin A – le péché B)2
  • Élargir : pourA – 2 pour A pour B + cos2B + sin2A – 2 péchés A péché B + sin2B
  • Simplifier en utilisant cos2 + sin2 = 1: (1) – 2 pour A pour B + (1) – 2 péchés A péché B = 2 – 2 (cos) A pour B + péché A péché B)

Maintenant, envisagez le triangle DEUXIÈME PARTIE. L'angle au centre entre les vecteurs Les et OQ est A – B. L'application de la loi des cosines au PQ latéral donne:

PQ2 = OP2 + OQ2 – 2·OP·OQ·cos(A – B) = 1 + 1 – 2 cos(A – B) = 2 – 2 pourA – B)

Équivalents aux deux expressions pour PQ2 :

2 – 2 (cos) A pour B + péché A péché B) = 2 – 2 pourA – B)

La division des deux côtés par –2 et l'annulation du facteur commun donne la formule de soustraction. Comme avec la preuve géométrique, remplacer B avec –B Cette dérivation algébrique confirme l'identité sans s'appuyer sur la rotation, en utilisant seulement l'algèbre de base et la loi des cosines.

Preuve utilisant la formule Euler

Formule d'Euler, eι = cos Φ + i sin Φ, relie la trigonométrie à des exponentielles complexes et fournit une preuve élégante. A et B, considérer l'exponentielle complexe de la somme:

ei(A+B) = eiA eiB = (cos A + je pécher A(cos) B + je pécher B)

Élargir le produit en utilisant la propriété distributive et en rappelant que i2 = –1:

= pour A pour B + i parce A péché B + je pécher A pour B + le péché i2 A péché B
= (cos A pour B – le péché A péché B) + i (sin A pour B + pour A péché B)

Mais par la formule d'Euler, ei(A+B) égale également le cos(A+B) + i péché(A+B). L'équation des parties réelles des deux expressions donne la formule d'addition pour le cosinus:

cos(A + B) = cos A cos B – péché A péché B

La formule de soustraction suivante est la suivante : B avec –B Cette preuve démontre avec élégance comment la structure algébrique des nombres complexes encapsule les identités trigonométriques, offrant un outil puissant pour l'exploration plus poussée dans les analyses complexes et les équations différentielles.

Demandes d'ajout de cosinus et de soustraction

Résoudre les équations trigonométriques

Ces formules sont essentielles pour simplifier les équations qui impliquent des sommes ou des différences d'angles. Par exemple, résoudre cos 2x + cos x = 0 devient simple lorsque cos 2x est réécrit comme cos(x + x) = cos2 x – sin2 x. L'identité réduit l'équation à une seule fonction trigonométrique, permettant des solutions exactes. Les techniques courantes comprennent la conversion des sommes en produits à l'aide des formules produit-somme dérivées, qui sont des corollaires directs des formules d'addition et de soustraction.

Superposition et interférence des vagues

En physique, la superposition de deux ondes de fréquences différentes produit des battements et des interférences. La somme de deux ondes cosines, cos(--) et cos(--) peut être exprimée en utilisant l'identité:

Cos α + cos β = 2 cos(α+β)/2) cos(α-β)/2)

Cette identité, dérivée de la formule de soustraction, montre que l'onde résultante a une enveloppe lentement variable (la fréquence de différence) modulant un support rapide (la fréquence moyenne).Les ingénieurs utilisent cette relation dans la modulation d'amplitude (AM) radio et dans la conception de mélangeurs pour la conversion de fréquence.

Série Fourier et traitement des signaux

Les séries Fourier représentent des signaux périodiques comme des somme infinie de sines et de cosines. L'orthogonalité de ces fonctions de base, prouvée en utilisant les identités produit-à-somme dérivées des formules d'addition, permet une décomposition efficace des signaux. La transformation discrète de la cosine (DCT), largement utilisée en compression d'image et audio (JPEG, MP3), exploite directement les propriétés d'addition de cosine. En casant un signal dans ses composants de fréquence, le DCT réduit la redondance et permet une compression latente avec une distorsion perceptuelle minimale. Wikipédia article sur la transformation discrète de la cosine- Oui.

Changements de phase dans le génie électrique

Dans l'analyse de circuit de courant alternatif (AC), la tension et le courant sont souvent hors de phase. Les formules d'addition de cosinus permettent aux ingénieurs de combiner des fonctions sinusoïdales avec différents angles de phase. Par exemple, la somme de deux tensions avec la même fréquence mais différentes phases peut être exprimée en une seule cosine avec une magnitude et un décalage de phase déterminés par l'identité de l'addition. Tout sur Circuits - Guide pour les opérations de la vague AC- Oui.

La loi des cosines, qui généralise le théorème pythagore à n'importe quel triangle, est dérivée de la formule de soustraction de la cosine. Les navigateurs utilisent la loi des cosines dans la trigonométrie sphérique pour calculer les distances grand cercle entre les points sur Terre. Les astronomes appliquent les mêmes identités pour calculer les séparations angulaires entre les objets célestes. Ces applications pratiques soulignent l'importance des formules d'addition et de soustraction au-delà des mathématiques pures.

Résumé des preuves et des connexions

Les formules d'addition et de soustraction de cosinus ne sont pas des faits isolés; elles émergent naturellement de la géométrie du cercle unitaire, de l'algèbre coordonnée en utilisant la distance, et des propriétés algébriques des exponentiels complexes. La preuve géométrique offre une intuition visuelle, la preuve algébrique repose sur la distance euclidienne et la loi des cosines, et la formule Euler ès révèle un lien profond entre trigonométrie et analyse complexe.

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