Maîtriser la règle de cosine pour les triangles non-droits

Alors que le théorème Pythagore résout élégamment les triangles droit, la plupart des triangles réel-monde ne sont pas droit-angled. Les géomètres, ingénieurs, navigateurs et programmeurs d'ordinateur graphique font régulièrement face à des triangles avec des angles qui ne sont pas 90°. règle de la corsine (également appelé Loi des Cosines Cette règle relie les trois côtés de tout triangle à la cosine d'un angle spécifié, vous permettant de calculer des longueurs ou des angles inconnus même s'il n'existe pas d'angle droit. Maîtriser la règle de cosine construit une base pour une géométrie et une trigonométrie plus avancées, et elle apparaît fréquemment en physique, en astronomie, et même en robotique.

Dans ce guide, nous explorerons la formule en profondeur, nous passerons par des exemples étape par étape pour trouver un côté manquant et un angle inconnu, discuter du cas ambigu et mettre en évidence des applications pratiques. D'ici là, vous pourrez appliquer la règle de cosinus avec confiance à tout triangle non droit.

La Loi sur la formule des cosines

La règle de cosinus est souvent exprimée en trois formes équivalentes, selon l'angle que vous connaissez ou avez besoin. a, bet c, et l'angle opposé à chaque côté indiqué par la lettre majuscule du côté (angle A côté opposé a, angle B côté opposé b, et angle C côté opposé c ), la règle est :

  • a2 = b2 + c2 – 2bc pour A
  • b2 = a2 + c2 – 2ac pour B
  • c2 = a2 + b2 – 2ab pour C

Quelle que soit la version que vous utilisez, le motif est le même : le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés moins le double du produit de ces côtés et de la cosine de l'angle inclus (l'angle entre eux). C est 90°, puis 90° = 0, et la formule se réduit à c2 = a2 + b2 — le théorème Pythagore familier.

Quand utiliser la règle Cosine

La règle du cosinus est la méthode d'aller-retour dans deux scénarios principaux:

  1. Lorsque vous connaissez deux côtés et l'angle inclus (SAS) — vous pouvez trouver le troisième côté directement.
  2. Quand vous connaissez les trois côtés (SSS) — vous pouvez trouver n'importe quel angle en réorganisant la formule.

Il y a aussi un troisième scénario, moins commun : si vous connaissez deux côtés et un angle non inclus (SSA), la règle du cosinus peut aider à trancher entre les cas ambigus qui se posent avec la loi des sinus. Mais nous discuterons de cette nuance plus tard.

Pourquoi ne pas toujours utiliser la loi des sinus?

Les Loi des sinus Pour SAS, vous n'avez pas de paire de deux côtés opposés. Pour SSS, vous n'avez aucun angle. La règle de cosinus remplit parfaitement ces lacunes. De plus, lorsque vous utilisez la loi des sinus dans une configuration SSA, vous pouvez finir par deux triangles possibles (le cas ambigu). La règle de cosinus, étant une équation quadratique, peut résoudre cette ambiguïté en donnant une solution unique parce que les distances doivent être positives et les angles doivent correspondre à la géométrie du triangle.

Pour une comparaison plus approfondie, voir Maths est amusant: Loi des Cosines qui contraste également les deux lois.

Trouver un côté quand vous connaissez deux côtés et l'angle inclus (SAS)

Nous allons marcher à travers un exemple détaillé du début à la fin. Supposons que vous êtes chargé de trouver la distance à travers un lac. Vous mesurez deux côtés le long de sa rive comme a = 120 m et b = 85 m, et l'angle entre eux (γ) est 47°. Le troisième côté c est la distance à travers l'eau.

  1. Identifier les valeurs connues:
    • Côté a = 120 m
    • Côté b = 85 m
    • Angle compris γ = 47° (entre a et b)
  2. Choisissez la formule correcte : Nous avons besoin de côté c angle opposé γ, donc nous utilisons c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ- Oui.
  3. Remplacer et calculer:
    a2 = 1202 = 14 400
    b2 = 852 = 7 225
    2ab = 2 × 120 × 85 = 20 400
    47° -0.681998 (en utilisant une calculatrice)
    Alors c2 = 14 400 + 7 225 – 20 400 × 0.681998
    = 21 625 – 13 912,76
    = 7 712,24
  4. Prenez la racine carrée : c = 0,712,24 ,87,82 m.

Ainsi, la distance à travers le lac est approximativement 87,8 m. Ce type de problème est courant dans l'arpentage des terres et utilise souvent la règle du cosinus parce que la mesure directe à travers l'eau ou le terrain irrégulier est peu pratique.

Autre exemple de SAS (avec angles en degrés et minutes)

Parfois, les angles sont donnés en degrés et minutes. Par exemple, en triangle ABC, côté b = 10 cm, côté c = 14 cm, et angle A = 35° 20' (35 degrés et 20 minutes). a- Oui.

  • Convertir l'angle en degrés décimaux: 35° 20' = 35 + (20/60) = 35,3333°.
  • c. 35,3333° - 0,8152.
  • a2 = b2 + c2 – 2bc pour A = 102 + 142 – 2(10)(14)(0,8152) = 100 + 196 – 228,256 = 67,744.
  • a = √67.744 0\ 8.23 cm.

Vérifiez toujours que vous utilisez l'angle compris correct. Pour le côté a, l'angle inclus est l'angle A, qui se trouve entre les côtés b et c. Si vous avez utilisé par erreur un angle différent, le résultat serait erroné.

Trouver un angle quand vous connaissez les trois côtés (SSS)

Lorsque les trois longueurs latérales sont connues, la règle de cosine peut être réaménagée pour résoudre n'importe quel angle. Supposons que vous ayez un triangle avec les côtés a = 7, b = 9et c = 10 (comme dans l'exemple original). Trouver les trois angles pour la pratique.

Angle C (c = 10 du côté opposé)

  • Réarrangement: cf. C = (a)2 + b2 – c2) / (2ab).
  • Numérotation: 49 + 81 – 100 = 30.
  • Dénominateur : 2 × 7 × 9 = 126.
  • c. C = 30 / 126 -0,238095.
  • C = cos–1(0,238095) -76,2°.

Angle B (côté opposé b = 9)

  • cf.2 + c2 – b2) / (2ac).
  • Numérotation: 49 + 100 – 81 = 68.
  • Dénominateur : 2 × 7 × 10 = 140.
  • Cos B = 68 / 140 = 0,485714.
  • B = pour–1(0.485714) -60.9°.

Angle A (côté opposé a = 7)

  • pour A = (b2 + c2 – une2) / (2bc).
  • Numérotation: 81 + 100 – 49 = 132.
  • Dénominateur : 2 × 9 × 10 = 180.
  • cos A = 132 / 180 = 0,733333.
  • A = pour–1(0,73333) - 42,9°.

Maintenant vérifiez : 76.2° + 60,9° + 42,9° = 180.0°, confirmant que nos calculs sont cohérents avec la somme de l'angle triangle.

La méthode SSS est un point de départ dans la navigation. Par exemple, si vous connaissez les distances entre trois repères, vous pouvez calculer les angles nécessaires pour tracer un parcours. Vidéo de la loi des cosines de l'Académie Khan fournit un renforcement visuel de ces étapes.

La règle du cosinus et l'affaire ambulante (SSA)

Lorsque vous recevez deux côtés et un angle non inclus (SSA), la loi des sinus peut produire deux triangles possibles (ou aucun). La règle de cosinus peut aider à résoudre cela. Supposons que vous connaissez le côté a, le côté b et l'angle A (pas entre eux). Vous pouvez configurer la règle de cosinus pour résoudre pour le côté c en utilisant le fait que le côté a doit égaler le côté opposé à l'angle A. L'équation devient un quadratique en c:

a2 = b2 + c2 – 2bc pour A

Réarrangement: c2 – 2b pour A · c + (b2 – une2) = 0.

Ce quadratique peut avoir zéro, une ou deux racines réelles positives pour c. Chaque racine positive correspond à un triangle possible. Contrairement à la loi des Sinus, qui peut donner des angles ambigus sans clarté, la règle de la cosine vous indique directement combien de triangles existent par le nombre de solutions positives pour le côté manquant.

Par exemple, si vous avez a = 10, b = 8, et A = 30°, en remplaçant dans les rendements quadratiques c , 13,7 (une solution). Si a = 6, b = 8, et A = 30°, le quadratique peut donner c , , 11,1 ou c , , 3,6 — deux triangles possibles. BBC Bitesize: La règle du cosinus qui comprend des exemples de SSA.

Preuve et dérivés

Comprendre d'où vient la règle de cosinus peut approfondir votre intuition. Considérez triangle ABC. Déposer une perpendiculaire du vertex B vers le côté AC, se réunissant au point D. Laisser AD = x et DC = b – x (si nous laissons le côté AC = b). pour A = x/cDonc x = c c c a. En outre, la hauteur h peut être exprimée en utilisant l'un ou l'autre triangle: h = c sin A (à partir de l'ABD) et aussi à partir du triangle BDC: h2 = a2 – (b – x)2- Oui.

Equiter les deux expressions pour h2- Oui.

c2 péché2 A = a2 – (b – c pour A)2- Oui.

Élargir le côté droit : a2 – (b)2 – 2bc pour A + c2 pour2 A).

Souvenez-vous du péché2 A = 1 – pour2 A, donc côté gauche = c2 – c2 pour2 A.

Définit gauche = droite :

c2 – c2 pour2 A = a2 – b2 + 2bc pour A – c2 pour2 A.

Les –c2 pour2 Un terme annule, laissant :

c2 = a2 – b2 + 2bc pour A.

Réarrangement: a2 = b2 + c2 – 2bc pour A. C'est la règle du cosinus.

Cette dérivation montre que la règle est une conséquence directe de la rupture du triangle en deux triangles de droite et de l'application du théorème Pythagore. Elle explique pourquoi la formule fonctionne pour n'importe quel triangle, pas seulement pour les triangles aigus ; même pour les angles obtus où le cos A devient négatif, la géométrie reste valide.

Erreurs et conseils courants

  • Utiliser le mauvais angle: Assurez-vous que l'angle que vous branchez est celui qui est en face du côté pour lequel vous résolvez. Dans SAS, l'angle connu doit être l'angle compris entre les deux côtés connus.
  • Signe de cosinus: La cosine peut être négative pour les angles supérieurs à 90°. C'est très bien, la formule la gère. Par exemple, si vous avez un triangle obtus avec un angle de 120°, cos 120° = –0,5, ce qui fait que le terme –2ab cos γ devient positif (parce que –2ab(–0,5) = +ab).
  • Ordre des opérations: Calculer 2ab cos γ d'abord, puis le soustraire de la somme des carrés. Negler entre parenthèses peut conduire à des erreurs.
  • Mode calculateur & #160;: Assurez-vous que votre calculateur est réglé à des degrés (ou des radians, si c'est votre unité).
  • Taille de l'angle SSS: Après avoir trouvé un angle, vous pouvez utiliser la loi des sinus pour trouver les autres angles plus rapidement, mais soyez conscient du cas ambigu avec la règle des sinus. Il est plus sûr de continuer avec la règle des cosinus pour tous les angles si vous n'êtes pas sûr.
  • Cohérence des unités : Toutes les mesures latérales doivent être dans les mêmes unités. Si vous mélangez mètres et centimètres, convertissez-les d'abord.

Applications réelles dans le monde

La règle du cosinus est plus qu'un exercice en classe. Voici les domaines qui s'en remettent quotidiennement :

  • Enquêtes et cartographie : Déterminer les distances entre les points qui ne sont pas directement mesurables, comme les rivières, les vallées ou les parcelles de terre.
  • Navigation et aviation : Calculer la distance au sol entre deux points de cheminement et les distances parcourues, ou déterminer l'angle pour corriger le cap.
  • Physique et génie: Résoudre les forces en composants, analyser les triangles vectoriels qui ne sont pas à angle droit et concevoir des structures de fermes.
  • Astronomie: Calcul des distances entre les corps célestes en utilisant la triangulation de la surface de la Terre.
  • Graphiques informatiques : Calcul des propriétés triangle pour le rendu 3D, la détection de collision et le traçage des rayons où les coordonnées forment des triangles arbitraires.

Par exemple, un avion qui se dirige à 60° de l'aéroport A vole à 200 km jusqu'au point B, tourne à 130° (par rapport à son cap précédent) et vole à 150 km jusqu'au point C. La distance directe de A à C se trouve en utilisant la règle du cosinus, où vous connaissez deux côtés (200 km et 150 km) et l'angle inclus (l'angle entre les deux jambes, qui est de 180° – 130° + 60°? En fait, il faut calculer l'angle intérieur du triangle formé par le chemin — un problème de navigation standard).

Pour plus d'exemples du monde réel, voir Université ouverte : la règle de la cosine- Oui.

Problèmes pratiques

Pour renforcer la confiance, essayez-les par vous-même :

  1. Dans le triangle PQR, p = 9 cm, q = 12 cm, et l'angle R = 45°.
  2. Triangle ABC a côtés AB = 8, BC = 15, CA = 17. Trouvez l'angle le plus grand.
  3. Un navire navigue à 30 km à l'est, puis à 40 km au nord-est (45° au nord-est). Quelle est sa distance de départ et quel est le point de retour?
  4. Deux forces de 50 N et 70 N agissent à un angle de 60° l'une à l'autre. Trouvez l'ampleur du résultat (utilisez la règle de cosinus sur le triangle de force).

Réponses : (1) r - 8,54 cm; (2) Angle B (côté opposé CA=17) -90° (c'est un triangle droit, mais vérifier avec la règle de la cosine); (3) distance -64.8 km, portant -157,5° (ou 22,5° à l'ouest du sud); (4) résultat -104.4 N.

Conclusion

La règle de cosinus est une extension essentielle de la trigonométrie de base qui débloque la capacité de résoudre les triangles non-droits. Sa formule est simple, mais l'appliquer correctement nécessite une identification minutieuse des côtés et angles connus. Que vous abordiez les problèmes SAS et SSS ou que vous traitiez avec le scénario SSA ambigu, la loi des cosines fournit un chemin fiable vers la réponse. En pratiquant avec des exemples variés et en comprenant sa dérivation, vous gagnerez la confiance pour utiliser cet outil dans des contextes académiques, professionnels et quotidiens. La prochaine fois que vous affronterez un triangle sans angle correct, rappelez-vous que la règle de cosinus est la clé pour trouver la pièce manquante.

Pour plus d'étude, visitez Maths est la loi des Cosines amusantes et Khan Academy , Unité de droit des cosines — à la fois des outils interactifs et des problèmes supplémentaires.