Présentation

Dans le vaste paysage des mathématiques appliquées, les fonctions spéciales fournissent l'échafaudage mathématique pour résoudre les équations différentielles qui régissent les phénomènes physiques. Parmi celles-ci, la fonction cosine et les fonctions Bessel se distinguent par leur ubiquité dans la propagation des vagues, le transfert de chaleur et le traitement des signaux. Plus que des outils séparés, ces deux familles de fonctions partagent des connexions mathématiques profondes qui permettent de déverrouiller des représentations plus simples de problèmes physiques complexes.

Comprendre les fonctions cosines

La fonction cosinus, écrite comme pourx), est l'une des fonctions trigonométriques fondamentales. Pour un triangle à angle droit, il donne le rapport du côté adjacent à l'hypoténuse. Plus généralement, pour tout angle réel α mesurée à partir du positif xaxe, pourα) est le x‐coordonné du point correspondant sur le cercle d'unité. La fonction est périodique avec la période 2π et son graphique est une onde qui oscille entre −1 et 1.

Les fonctions cosinusiennes se produisent naturellement dans tout réglage impliquant un simple mouvement harmonique. Par exemple, le déplacement d'un système à ressorts de masse, la tension dans un circuit à courant alternatif et le champ électrique d'une onde plane sont tous exprimés en fonction de la cosine (ou sinus). Fourier se compose de séries et de Fourier qui généralisent cette opération, ce qui montre que toute fonction périodique peut être décomposée en une somme de cosines et de sines.

Introduction aux fonctions de Bessel

Les fonctions de Bessel sont les solutions canoniques de l'équation différentielle de Bessel:

x2 y′′ + x y′ + (x2 - /2) y = 0,

Cette équation apparaît chaque fois qu'un problème physique est formulé avec une symétrie cylindrique ou sphérique et une coordination radiale séparée. Les deux solutions linéairement indépendantes pour entier sont la fonction de Bessel de la première espèce, J Voir(x) et la fonction Bessel de la seconde espèce, Oui Voir(xLa deuxième solution peut être la suivante: J −ν(x) .

J Voir(x) a une expansion de la série de puissance qui converge pour tous x- Oui.

J Voir(x) = -k=0--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (−1)k (x/2)/+2k / (k! ι(ν+k+1)).

Pour les fonctions non entières, les fonctions oscillent et se décomposent comme suit: x → . ; pour entiers, ce sont des fonctions entières. Les fonctions de Bessel apparaissent dans l'analyse de la conduction thermique dans un cylindre, les vibrations d'une tête de tambour circulaire, et les champs électromagnétiques dans les câbles coaxiaux, parmi d'innombrables autres contextes.

Un ensemble étroitement lié est les fonctions Bessel modifiées, I Voir(x) et K Voir(x), qui satisfont aux prescriptions de l'article x2y′′ + xy′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′x2 +/2)y = 0 et apparaissent dans des problèmes de comportement radial hyperbolique (non oscillaire).

La relation entre les fonctions Cosine et Bessel

La connexion entre les fonctions cosinus et Bessel est multiforme et mathématiquement profonde. Elle se manifeste dans les représentations intégrales, les valeurs d'ordre spécial, et les expansions asymptotiques.

Représentation intégrale

Le lien le plus direct est par l'intermédiaire de la formule intégrale de Bessel, pour les commandes entières:

Jn(x) = (1/π)0π pour x τ ) dτ,   n τ Z.

Pour le cas spécial n = 0, ceci simplifie:

J0(x) = (1/π)0π pour x d) Les données relatives à la consommation d'énergie sont disponibles sur le site Web de l'Agence.

Cette intégrale montre que J0(x) est une moyenne de cosines sur une série de phases, mettant en évidence le caractère oscillatoire de la fonction Bessel. x sin τ) révèle une onde de cosine modulée en phase, analogue à la modulation de fréquence en théorie de la communication.

Fonctions de la moitié de l'ordre de besel

Lorsque l'ordre vn est un demi-entier (ν = n + 1⁄2, n -Z), les fonctions de Bessel réduisent à des expressions trigonométriques élémentaires.

J1⁄2(x) = √(2/πx) péché(x),   J −1⁄2(x) = √(2/πx) pourx),

J3/2(x) = √(2/πx) [ péché(x)/x − pour lex) ],

et pour les fonctions sphériques de Bessel, qui sont jn(x) = √(π/2x)JN+1⁄2(x) les premiers sont :

j0(x) = péché(x)/x,   j1(x) = péché(x)/x2 − pour lex)/x- Oui.

Ces connexions exactes montrent que, pour les ordres demi-entier, les fonctions de Bessel ne sont rien de plus que des combinaisons de sinus et de cosinus multipliés par une fonction rationnelle de x. Ce fait est exploité dans la théorie de la diffusion, les fonctions quantiques mécaniques d'onde radiale (p. ex., pour l'atome d'hydrogène), et l'acoustique.

Comportement asymptotique

Pour les grands arguments, toutes les fonctions de Bessel du premier et du second genre présentent une désintégration oscillatoire qui ressemble de près aux ondes humides de cosinus (ou de sinus):

J Voir(x) - - - -x) pour x - / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / x → - -,

Oui Voir(x) - - - -x) péché( x - / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / x - C'est pas vrai.

Ainsi, pour les grandes entreprises, x, la fonction cosine apparaît explicitement dans la forme asymptotique de l'ordre de tête J Voir(x). Le décalage de phase π/2 + π/4 dépend de l'ordre. Cette relation asymptotique est critique dans les problèmes d'onde à haute fréquence, où le champ πfar des ondes cylindriques s'exprime directement sous forme d'enveloppe cosine.

Ces interconnexions entre les fonctions cosinus et Bessel ne sont pas seulement des curiosités académiques; elles fournissent une feuille de route pour simplifier les modèles mathématiques lorsqu'il s'agit de géométries cylindriques ou sphériques.

Les applications de la relation

Le chevauchement entre les fonctions cosinus et Bessel est exploité dans de nombreuses branches de l'ingénierie et de la physique. Ci-dessous sont trois domaines d'illustration.

Guides électromagnétiques

Dans l'analyse des guides d'ondes métalliques à section circulaire (guides d'ondes cylindriques), les modes électriques transverses (TE) et magnétiques transverses (TM) sont exprimés en utilisant les fonctions de Bessel.np modes, le composant de champ magnétique longitudinal implique Jnk)cLa dépendance à la cosine dans la direction azimutale se combine avec la variation radiale de Bessel. La queue asymptotique des champs éloignés de la source peut être approximative en utilisant la forme cosine de la fonction grand argument Bessel. Cette simplification est la clé pour calculer le couplage entre les guides d'ondes et les modèles de rayonnement. guide d'onde cylindrique L'entrée sur ScienceDirect offre un examen complet.

Acoustique et vibrations

Une membrane circulaire vibrante (par exemple, une tête de tambour) est régie par l'équation des vagues en coordonnées polaires. Jnk)mnρ) pour les produits (n) (ou sin(n)), où kmn Le rayonnement sonore d'un cylindre vibrant (par exemple, un cône de haut-parleur approximativement comme source cylindrique) utilise la représentation intégrale pour relier la vitesse de surface à la pression de champ lointain. Le motif de champ lointain est ensuite exprimé par une somme de cosines pondérées par les fonctions de Bessel. À mesure que la fréquence augmente, la forme de cosine asymptotique des fonctions de Bessel donne des expressions simples de faisceau. Acoustique des sources cylindriques de Princeton.

Transfert de chaleur dans les coordonnées cylindriques

Considérez la distribution de température à l'état d'équilibre à l'intérieur d'un long cylindre avec une température limite qui varie azimutalement. Jn(kr) cos(nλ) (ou sin(nλ)). Lorsque le domaine radial s'étend à de grands rayons par rapport aux caractéristiques de la limite, le profil de température dans le champ lointain se désintègre et oscille comme prévu par la relation cosine-Bessel asymptotique. Conduction de chaleur dans les coordonnées cylindriques de l'Université de la Colombie-Britannique.

D'autres applications incluent la propagation de fibres optiques (où les modes de base impliquent des fonctions de Bessel et le revêtement utilise des fonctions de Bessel modifiées), la modélisation des ondes sismiques, et même la diffusion mécanique quantique par un potentiel cylindrique. Dans tous les cas, la présence de cosinus ou de sinus dans la partie angulaire de la solution est naturellement jumelée à une fonction de Bessel dans la partie radiale, et la relation mathématique entre les deux simplifie le traitement analytique et numérique.

Conclusion

La relation entre les fonctions cosinus et Bessel est un bel exemple de l'unité cachée en mathématiques. Les représentations intégrales, les simplifications de demi-ordre et les formes asymptotiques révèlent que les fonctions de Bessel sont, à bien des égards, une généralisation de l'humble cosinus. La reconnaissance de ces connexions permet aux scientifiques et aux ingénieurs de se déplacer couramment entre les différentes représentations du même problème physique, en choisissant la formulation qui convient le mieux aux analyses ou à l'efficacité computationnelle.

Des guides d'ondes aux membranes vibrantes aux échangeurs de chaleur, l'interaction des fonctions cosinus et Bessel reste une pierre angulaire des mathématiques appliquées. Au fur et à mesure que les méthodes informatiques avancent, ces fonctions classiques restent pertinentes, souvent apparues comme solutions exactes ou comme éléments constitutifs de schémas numériques.