Application de la géométrie coordonnée pour calculer la zone et le périmètre du triangle dans la cartographie SIG

La géométrie de la coordination (géométrie analytique) fournit la base mathématique pour le calcul de la zone et du périmètre des caractéristiques polygonales, en commençant par la forme la plus simple : le triangle. Les triangles sont les éléments constitutifs de géométries vectorielles et de modèles numériques d'élévation plus complexes. La maîtrise de ces calculs permet aux analystes SIG d'effectuer une évaluation précise des parcelles, une surveillance environnementale, une planification des infrastructures et une analyse spatiale. Cet article élargit les formules de base pour en faire une compréhension complète de leur application dans les flux de travail du système SIG réel, couvrant les systèmes de coordonnées, les sources d'erreurs pratiques et les utilisations avancées telles que les réseaux irréguliers triangulés (TIN).

Comprendre la géométrie coordonnée dans les SIG

Dans un environnement SIG, chaque caractéristique géographique est représentée par une série de coordonnées. Pour les systèmes de coordonnées projetés (par exemple UTM, Plan d'État), il s'agit de valeurs cartésiennes (x, y), généralement en mètres ou en pieds. Pour les systèmes de coordonnées géographiques (latitude/longitude), les coordonnées sont des angles, qui nécessitent une manipulation soigneuse de la courbure de la Terre.

Un triangle sur une carte est défini par trois sommets: (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3 Ces points peuvent être obtenus à partir de levés GPS, de cartes numérisées ou d'images de télédétection.Les deux mesures fondamentales requises pour de nombreuses analyses SIG sont la zone fermée et la longueur des limites (périmètre).Les mathématiques derrière ces mesures sont solides et bien comprises, mais l'attention à la coordination des propriétés du système est essentielle pour obtenir des résultats fiables.

Coordination des systèmes et des projections

Avant d'appliquer des formules de géométrie des coordonnées, l'analyste du SIG doit s'assurer que les coordonnées sont dans un système de coordonnées projetées approprié. formule de lacet de chaussure et formule de distance Pour les triangles à échelle mondiale, il faut utiliser la géométrie sphérique ou une projection à zone égale appropriée. De nombreux logiciels SIG s'en occupent automatiquement en transformant les coordonnées à la volée ou en utilisant des algorithmes géodésiques.

Calcul de la zone d'un triangle en utilisant la formule de la chaussure

La formule de lacet (également appelée formule de zone de Gauss) est la méthode standard pour calculer la zone d'un simple polygone à partir de ses coordonnées vertex. Pour un triangle, il simplifie à une expression nette:

Superficie = , (x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)) ► 2

La valeur absolue assure une zone positive même si les sommets sont listés dans le sens contraire des aiguilles d'une montre ou dans le sens des aiguilles d'une montre. La formule peut être dérivée du produit vectoriel croisé en deux dimensions.

Superficie = 0,5 * , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,Les * yi+1 – xi+1 * yLes) , où les indices se recoupent (i+1 devient 1 pour i=3).

Exemple travaillé

Considérez un triangle avec des sommets : A(1, 2), B(5, 4), C(3, 6). Calculez en utilisant la formule :

  • Durée1: x1(y2 – y3) = 1 * (4 – 6) = –2
  • Durée2: x2(y3 – y1) = 5 * (6 – 2) = 20
  • Durée3: x3(y1 – y2) = 3 * (2 – 4) = –6
  • Somme = –2 + 20 – 6 = 12
  • Superficie = ,2 / 2 = 6 unités carrées

Si les unités de coordonnées sont des mètres, la superficie est de 6 mètres carrés. Dans un SIG, la superficie calculée est dans les unités de la projection (p. ex., mètres carrés, hectares, ou acres).

Manipulation des grandes zones et précision des coordonnées

Lorsque l'on calcule des zones pour de grands triangles du monde réel, les valeurs de coordonnées peuvent être grandes (p. ex., à l'est de l'UTM de 500 000+). La formule du lacet comprend des produits de grands nombres, ce qui peut causer un débordement numérique dans certains langages de programmation. triangles non convexes n'existent pas (tous les triangles sont convexes), de sorte que la formule de lacet donne toujours la zone signée correcte; la valeur absolue donne la magnitude.

Calcul du périmètre d'un triangle

Le périmètre est la somme des longueurs des trois côtés. Chaque longueur latérale est la distance euclidienne entre deux sommets, calculée à l'aide de la formule de distance (théorème pythagorien):

d12 = √( x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 )

De même pour d23 et d31. Ensuite:

Périmètre = d12 + d23 + d31

Exemple travaillé (même triangle)

Utilisation des sommets A(1,2), B(5,4), C(3,6):

  • dAB = √((5-1)2 + (4-2)2) = √(16+4) = √20 ↓ 4.472
  • d Colombie-Britannique = √((3-5)2 + (6-4)2 = √(4+4) = √8 ↓ 2,828
  • d Pays = √((1-3)2 + (2-6)2) = √(4+16) = √20 ↓ 4.472
  • Périmètre -4,472 + 2,828 + 4,472 = 11 772 unités

Périmètre dans les contextes géodésiques

Pour de très grands triangles couvrant des centaines de kilomètres, la formule de distance euclidienne devient inexacte parce qu'elle ignore la courbure de la Terre. distance géodésique Pour les ensembles de données utilisant un système de coordonnées projetées, la distance euclidienne est généralement acceptable pour les zones locales à régionales dans la même zone de projection. Vérifiez toujours le système de coordonnées softwares et décidez d'utiliser des calculs planaires ou géodésiques.

Considérations pratiques concernant les applications SIG

Exactitude et sources d'erreurs

Les erreurs de mesure de la coordination se propagent directement dans les calculs de la zone et du périmètre. Le GPS de la qualité de l'arpentage (exactitude du centimètre) donne des résultats beaucoup plus fiables que le GPS de la qualité de consommation (niveau du mètre). Dilution de précision (DOP) dans le GPS peut affecter les positions de vertex. Lorsque l'on calcule les zones de parcelles légales, les arpenteurs utilisent souvent la géométrie de coordonnées avec plusieurs points de contrôle et des ajustements les moins carrés pour minimiser les erreurs.

Unités et mise à niveau

Les unités de sortie dépendent des unités de coordonnées d'entrée. Si les coordonnées sont en mètres, la surface est en mètres carrés; si en pieds, la surface en pieds carrés. Les professionnels du SIG se convertissent souvent en unités significatives telles que les hectares (1 ha = 10 000 m2), les acres (1 acre -4046,86 m2) ou les kilomètres carrés. Le périmètre est dans la même unité linéaire.

Ordre dans le sens horaire vs.

La formule de lacet renvoie une zone signée : positive pour les sommets listés dans le sens contraire des aiguilles d'une montre (standard dans de nombreux systèmes SIG comme la spécification OpenGIS Simple Features) et négative dans le sens des aiguilles d'une montre. Le signe est utile pour déterminer l'orientation des polygones lors de la détection de l'auto-intersection ou de la topologie de construction.

Application dans les réseaux irréguliers triangulés (TIN)

Les réseaux irréguliers triangulés représentent des surfaces de terrain utilisant un ensemble de triangles non chevauchants. Les sommets de chaque triangle sont des points d'altitude connus (x, y, z). Zone 3D et périmètre de surface Pour l'analyse du NIT, la zone de chaque triangle projetée sur le plan horizontal (en utilisant la formule du lacet) donne la zone planimétrique, tandis que la zone 3D est obtenue par:

Domaine3D = (Région)2D) / Cos(), où φ est l'angle entre la normale du triangle et la verticale. Sinon, calculer le produit croisé de deux vecteurs bord et prendre la moitié de sa magnitude.

Logiciels SIG comme ArcGIS et QGIS Le périmètre en 3D est la somme des distances euclidiennes en trois dimensions entre les sommets.

Construire un NIP à partir de Points

Pour construire un TIN, un ensemble de points est triangulé en utilisant la triangulation Delaunay, qui maximise l'angle intérieur minimum des triangles et évite les formes minces. Chaque triangle résultant peut ensuite être traité en géométrie de coordonnées pour calculer sa surface et son périmètre. Cette approche est largement utilisée en hydrologie (délimitation du bassin hydrographique), analyse de la visibilité et estimation du volume de coupe-remplissage. La précision de la surface TIN dépend de la densité et de la distribution des points d'échantillonnage.

Mise en œuvre des logiciels et outils

La plupart des logiciels SIG incluent des fonctions intégrées pour calculer la zone et le périmètre des polygones en utilisant la géométrie des coordonnées. Cependant, comprendre les mathématiques sous-jacentes aide les analystes à résoudre les résultats inattendus.

Calculatrice de champ QGIS

Dans QGIS, la calculatrice de champ fournit des expressions comme et pour les couches de polygone. Pour une fonctionnalité de triangle, celles-ci renvoient la zone planimétrique et le périmètre basés sur le système de référence de coordonnées de calque (CRS). Le logiciel utilise la formule de lacet en interne. Les utilisateurs avancés peuvent créer des expressions personnalisées pour calculer la zone 3D à partir des attributs d'élévation en utilisant les fonctions ou .

ArcGIS Pro

ArcGIS Pro propose des outils similaires: Calculer la géométrie outil d'attribut pour les classes de fonctionnalités, et le Calculer le champ ArcGIS prend également en charge les calculs géodésiques pour les grandes zones via la propriété . Pour les NIT, la propriété est Volume de surface outil calcule la surface et le volume au-dessous ou au-dessus d'un plan de référence.

Code personnalisé

Pour des applications spécialisées, les analystes peuvent implémenter la formule de lacet en Python (en utilisant des bibliothèques comme NumPy ou Shapely).

Pour les zones géodésiques, on peut utiliser pour transformer en une zone de projection ou de calcul égale sur le sphéroïde.

Cas d'utilisations dans le monde réel

Mesure de la parcelle terrestre

Les géomètres et les techniciens SIG mesurent fréquemment les parcelles irrégulières en les divisant en triangles. Cette méthode -triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangage-triangage-triangage-triangage-triangage-triangage-triangage-triangage-triangage-triangage-triangage-triangulation-triangulation-triangulation-triangulation-triangage-triangulation-triangage-triangulaire-triangulaire-tri

Surveillance environnementale et écologique

Les écologistes utilisent des calculs par triangle pour estimer l'étendue spatiale des zones de végétation, des plans d'eau ou des cicatrices de feu. Par exemple, un sous-ensemble de points échantillonnés le long d'un rivage pourrait être relié pour former un maillage triangulaire, permettant d'estimer la superficie d'un lac ou d'un milieu humide.

Infrastructure et urbanisme

Les urbanistes calculent la superficie des parcelles pour appliquer les règlements de zonage, calculer les rapports de surface imperméables et concevoir des systèmes de gestion des eaux pluviales. Le périmètre des sections triangulaires peut définir les façades routières ou les limites de l'espace vert. Dans les grands projets d'infrastructure tels que les routes ou les pipelines, les mailles triangulaires (TIN) modélisent le terrain pour les calculs du volume de coupe et de remplissage, où la superficie et le périmètre de chaque triangle se nourrissent dans l'estimation du volume en utilisant la méthode de la zone de bout moyenne ou la formule prissoïdale.

Conclusion

La géométrie coordonnée fournit un ensemble d'outils simples, efficaces et mathématiquement solides pour calculer la zone et le périmètre des triangles dans la cartographie SIG. De la formule basique du lacet aux applications avancées dans les NIT et l'analyse de surface 3D, ces calculs sous-tendent de nombreuses tâches d'analyse spatiale. Comprendre les hypothèses – planes par rapport à sphériques, limites de précision et effets de projection – garantit que les résultats sont fiables et significatifs.

Pour plus de détails, consulter la documentation officielle QGIS ou ArcGIS Pro. Les fondements mathématiques sont bien décrits sur Wikipedia (formule de shoelace) et Distance euclidienne. Pour les calculs géodésiques, Bibliothèque GeographicLib offre des algorithmes de haute précision.