La distribución binomial negativa es un modelo de probabilidad versátil que extiende la distribución geométrica y ofrece una alternativa flexible a la distribución Poisson cuando los datos exhiben sobredispersión. A diferencia de la distribución binomial, que cuenta los éxitos en un número fijo de ensayos, el binomial negativo cuenta el número de fracasos observados antes de que un número determinado de éxitos se produzca en una secuencia de ensayos independientes de Bernoulli.

¿Qué es la distribución binomial negativa?

La distribución binomial negativa describe la probabilidad de encontrar un número determinado de fallos (o, dependiendo de la parametrización, el número total de pruebas) antes de que se alcance un número fijo de éxitos. Cada ensayo tiene una probabilidad de éxito constante \(p\), y los ensayos son independientes. La distribución se llama a veces la "distribución pascal" o la "distribución polía" en referencia a su desarrollo histórico.

Formalmente, si definimos:

  • r = el número requerido de éxitos (un número entero positivo),
  • p = la probabilidad de éxito en un solo juicio,
  • X = el número de fracasos antes del éxito de R-th,

entonces la función de masa de probabilidad (PMF) es:

\(P(X = k) = \binom{k + r - 1}{k} \cdot (1-p)^k \cdot p^r\), para \(k = 0, 1, 2, \ldots\)

Aquí, \(\binom{k + r - 1}{k}\) cuenta el número de maneras de organizar fallos \(k\) y éxitos \(r-1\) antes de que se produzca el éxito final. La media y la variabilidad de esta distribución son:

  • Significa: \(\mu = \frac{r(1-p)}{p}\)
  • Variación: \(\sigma^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}\)

Observe que la varianza siempre es mayor que la media (desde \(1/p ю 1\) para \(p<1\)), which makes the negative binomial a natural choice for modelling overdispersed count data.

Parámetros clave y su interpretación

Entender los dos parámetros, \(r\) y \(p\), es crucial para aplicar correctamente la distribución.

Parámetro r: El número de objetivos de éxito

En el binomial negativo clásico, \(r\) es un entero fijo. Un mayor \(r\) significa que necesitamos más éxitos antes de detenerse, lo que aumenta tanto el número esperado de fallos como la propagación de la distribución. Cuando \(r = 1\), el binomial negativo reduce a la distribución geométrica (esperando para el primer éxito).

En la práctica estadística moderna, \(r\) se permite a menudo ser un número real positivo, lo que permite un modelado más flexible de la varianza. En ese caso, la distribución se llama a veces la NB2 versión, y el PMF utiliza la función gamma en lugar de coeficientes binomiales.

Parámetro p: La probabilidad de éxito

Una probabilidad de éxito alto \(p\) significa éxitos son probables, por lo que se esperan pocas fallas antes de alcanzar los éxitos \(r\). Por el contrario, un \(p\) bajo (por ejemplo, \(p = 0.1\)) empuja el número esperado de fallos más alto y hace la distribución más derecha-skewed. La interacción de \(r\) y \(p\) permite el modelo de cuenta negativa

Ejemplos prácticos y aplicaciones

La distribución binomial negativa aparece en muchos contextos del mundo real donde el recuento de eventos es de interés y la varianza supera la media.

Salud y Epidemiología

  • Número de visitas al hospital antes del diagnóstico: Un paciente puede requerir varios nombramientos (failures) antes de realizar un diagnóstico correcto (suceso).El número de visitas previas se puede modelar con una distribución binomio negativa.
  • Incidencia de enfermedades en áreas pequeñas: El número de nuevos casos de enfermedad rara en una región determinada suele mostrar sobredispersión relativa a un modelo Poisson. Los epidemiólogos utilizan regresión binomial negativa para contabilizar variaciones adicionales debido a factores de riesgo no observados.
  • Ensayos clínicos: En un ensayo de un nuevo tratamiento, se puede modelar el número de eventos adversos antes de que se observe una respuesta positiva, ayudando a evaluar los beneficios entre eficacia y seguridad.

Control de calidad y fabricación

  • Defectos antes de que un lote pase inspección: Considere una línea de producción donde se prueban los artículos secuencialmente. El número de artículos defectuosos (failures) encontrados antes de que el lote alcance un número predeterminado de unidades aceptables (succes) sigue una distribución binomio negativa.
  • Pruebas de fiabilidad: Los ingenieros pueden probar componentes hasta que se produzca un número fijo de fallos, luego estimar la tasa de fracaso. El binomio negativo encaja naturalmente aquí porque el número total de componentes probados es aleatorio.

Marketing y Análisis de clientes

  • Llamadas de venta hasta que se adquiera un nuevo cliente: Un vendedor puede necesitar muchos contactos (failures) antes de cerrar un acuerdo (suceso). El número de llamadas no exitosas se puede modelar para optimizar la asignación de recursos.
  • El cliente se ha quedado sin problemas. El número de interacciones de servicio antes de que un cliente cancele (failure for the company) puede ser modelado como un binomial negativo, con "éxito" definido como el evento de retención.

Seguro y Gestión de Riesgos

  • Frecuencia de las reclamaciones: Las compañías de seguros suelen modelar el número de reclamaciones presentadas por un titular de la política durante un año. La distribución binomial negativa maneja la sobredispersión mejor que el Poisson, capturando la variación entre conductores, hogares o negocios.
  • Ciencia actuarial: La distribución se utiliza en teoría de credibilidad y para las primas de seguros de precios cuando los datos anteriores afirman que son muy variabilidad.

Análisis de deportes

  • Objetivos en fútbol o puntos en hockey: El número de goles marcados por un equipo por juego a menudo exhibe sobredispersión relativa a un modelo Poisson. La regresión binomio negativo proporciona mejor ajuste para predecir los resultados del partido.
  • Pitch cuenta en el béisbol: El número de parcelas (juicios) antes de que un lanzador registre un cierto número de salidas (sucesos) se pueden modelar, lo que contribuye a la gestión del volumen de trabajo.

Relación con otras distribuciones

La distribución binomial negativa está íntimamente conectada con varios otros modelos de probabilidad.

Distribución geométrica

Cuando \(r = 1\), el binomial negativo reduce a la distribución geométrica, que modela el número de fallas antes del primer éxito. Este es el caso más simple, a menudo utilizado para el análisis "tiempo a primer evento".

Distribución de Poisson

Tanto el binomio negativo como el modelo Poisson distribuyen los recuentos de los eventos. Sin embargo, el Poisson asume el medio igual a la varianza, mientras que el binomio negativo permite la varianza √≥n significa. De hecho, el binomio negativo puede derivarse como una mezcla de distribuciones Poisson donde el parámetro medio sigue una distribución gamma.

Distribución binomial

El binomio cuenta con éxitos en un número fijo de ensayos; el binomio negativo cuenta con fracasos antes de un número fijo de éxitos. Si cambias los éxitos/failures y reviertes la regla de parada, las dos distribuciones se complementan entre sí. Ambos son discretos y basados en ensayos de Bernoulli.

Mezcla de Gamma-Poisson

Como se mencionó, si \(Y eterna\lambda \sim \text{Poisson}(\lambda)\) y \(\lambda \sim \text{Gamma}(\alpha, \beta)\), entonces la distribución marginal de \(Y\) es binomial negativo con \(r = \alpha\) y \(p = \beta/(1+\beta)

Fijar la distribución binomio negativo a los datos

En la práctica, a menudo ha observado conteos y desea estimar los parámetros \(r\) y \(p\) (o, equivalentemente, el medio y un parámetro de dispersión). Dos métodos comunes de estimación son:

Método de Momentos

Establecer la muestra significa \(\bar{x}\) y la varianza de muestra \(s^2\) igual a la media teórica y la varianza, a continuación, resolver:

\(\bar{x} = \frac{r(1-p)}{p}\), \(s^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}\).

Esto produce \(p = \bar{x} / s^2\) y \(r = \bar{x}^2 / (s^2 - \bar{x})\). Tenga en cuenta que \(s^2\) debe ser mayor que \(\bar{x}\) para un ajuste binomio negativo válido.

Máxima estimación de probabilidad (MLE)

MLE es preferido por la precisión. Implica optimizar numéricamente la función de probabilidad de registro derivada de la PMF. Muchos paquetes de software estadístico (R, Python, Stata) proporcionan funciones integradas para el MLE binomial negativo, incluyendo en R y en los modelos estadísticos (Python). MLE puede manejar tanto el entero como el continuo \(r\).

¿Por qué la distribución binomial negativa es tan útil?

El binomio negativo puentea la brecha entre el geométrico simple y el modelo de Poisson sobredispersado. Su flexibilidad permite a los investigadores y analistas:

  • Modelo sobredispersión: En la mayoría de los datos de cuenta real, la varianza supera el medio. El Poisson es demasiado restrictivo; el binomio negativo proporciona un mejor ajuste sin necesidad de un modelo separado de cero inflado.
  • Incorporar heterogeneidad: Al interpretar \(r\) como parámetro de forma relacionado con la mezcla gamma subyacente, la distribución captura naturalmente diferencias sin merecer entre individuos o unidades.
  • Proporcionar parámetros interpretables: El parámetro de dispersión \(\alpha = 1/r\) (en algunas parametrizaciones) es fácil de comunicar a los no estadísticos.
  • Servir como un bloque de construcción para modelos de regresión: La regresión binomial negativa extiende la idea de manejar covariados, lo que lo convierte en una herramienta estándar en epidemiología, ecología y economía.

Implementaciones y recursos de software

Puede trabajar con la distribución binomio negativa en la mayoría de los entornos estadísticos:

  • R: Funciones , , ], ; y para regresión, .
  • Python: Scipy proporciona funciones de probabilidad; statisticsmodels tiene en .
  • Excel: La función devuelve la masa de probabilidad para las entradas dadas.
  • Stan, WinBUGS, JAGS: Los paquetes Bayesian incluyen el binomial negativo como una distribución integrada para modelos jerárquicos.

Para más lectura, el Artículo de Wikipedia sobre la distribución binomio negativa proporciona un tratamiento matemático completo, incluyendo las parametrizaciones alternativas. original de Greenwood y Yule (1920) sigue siendo una referencia clásica sobre la aplicación a las estadísticas de accidentes. Para aplicaciones modernas en ecología, vea Ver Hoef y Boveng (2007) sobre la probabilidad cuasi frente a la binomía negativa.

Conclusión

La distribución binomial negativa es una herramienta fundamental para cualquier persona que trabaja con datos de cuenta, especialmente cuando la varianza es mayor que la media. Su capacidad para modelar el número de fracasos antes de un número fijo de éxitos lo hace directamente aplicable a problemas de espera, mientras que su interpretación de mezcla gamma-Poisson proporciona un marco natural para la manipulación de la sobredispersión del tracto.