Introducción a las construcciones de compases y de vigilancia

Geometría clásica euclidiana, como codificación en Euclides Elementos, sostiene que las únicas herramientas legítimas para la construcción geométrica son una recta sin marcar y una brújula de colaps. Estos instrumentos simples obligan al geométrico a confiar completamente en la deducción lógica y las propiedades intrínsecas de círculos y líneas. Construir triángulos específicos utilizando sólo estas herramientas no es simplemente un ejercicio académico; afila el razonamiento espacial, construye teoremas geométricos, y conecta los triángulos de prueba de los estudiantes modernos con las raíces de pasos de escrituras

Herramientas esenciales y principios fundamentales

Las herramientas

  • Compass – Se utiliza para transferir distancias y dibujar arcos o círculos. En construcciones clásicas la brújula “colapses” cuando se levanta; sin embargo, la práctica moderna a menudo utiliza una brújula que conserva su entorno. Para las construcciones aquí, la brújula debe ser capaz de contener un radio fijo.
  • Straightedge – Un gobernante sin marcar. Puede ser utilizado sólo para dibujar segmentos de línea recta a través de dos puntos; no se permiten mediciones ni marcaciones de ángulo.

Principios básicos

  • Cada construcción debe proceder de puntos y líneas dados, utilizando sólo la intersección de líneas, arcos o círculos para crear nuevos puntos.
  • No se permite ninguna medición con un reglador; las distancias se transfieren sólo mediante la copia de un segmento con la brújula.
  • Todas las construcciones son teóricamente exactas, asumiendo herramientas perfectas y precisión infinita.

Estas reglas fueron formalizadas por antiguos matemáticos griegos y siguen siendo la base de la geometría sintética. Las construcciones que siguen son una aplicación directa de los postulados y proposiciones en Euclides Elementos.

Construyendo un triángulo de tres longitudes laterales dadas (SSS)

La construcción triangular más fundamental comienza con tres segmentos de línea que representan los lados. Esto es equivalente a la Proposición I.22 de Euclides.

  1. Dibuja una línea recta de cualquier longitud; esto se convertirá en la base del triángulo. Marcar un punto A en un extremo.
  2. Usando la brújula, copie la longitud del primer lado sobre la línea desde el punto A. Llamar al nuevo punto B. Segmento AB Ahora es un lado.
  3. Ponga la brújula a la longitud del segundo lado. Coloque el punto de brújula en A y dibujar un arco por encima de la línea.
  4. Ponga la brújula a la longitud del tercer lado. Coloque el punto de brújula en B y dibujar un arco que interseque el primer arco. Etiquete la intersección C.
  5. Use el trazado para dibujar segmentos AC y BC. Triángulo ABC está completo.

Esta construcción funciona si y sólo si las tres longitudes dadas satisfacen la desigualdad del triángulo: la suma de dos debe ser mayor que la tercera.

Construyendo un triángulo dado dos lados y el ángulo incluido (SAS)

Cuando se dan dos lados y el ángulo entre ellos, la construcción requiere copiar el ángulo. Copiado en ángulo es una construcción clásica (Euclid I.23).

  1. Dibuja una línea de referencia y marca un punto A para el vértice del ángulo. Utilice la brújula para dibujar un arco con centro A cortar la línea en el punto B; el radio debe ser arbitrario.
  2. Para copiar el ángulo dado: coloque el punto de brújula en el vértice del ángulo dado y dibuje un arco cruzando ambos lados. Etiquete esos puntos de intersección. Sin cambiar la brújula, dibuja un arco similar desde A, cruce de la línea de referencia B.
  3. Establece la brújula a la longitud del acorde entre los dos puntos en el ángulo dado. B sobre la base de referencia, dibujar un arco que intersecte el primer arco. Esto define una línea desde A a través de la intersección – esta línea hace que el ángulo copiado con la base de referencia.
  4. En la base, utilice la brújula para marcar la longitud del primer lado desde A a BEn el rayo recién dibujado, marca la longitud del segundo lado de A a C.
  5. Conectar B y C con la hendidura. ABC es el triángulo SAS requerido.

Construyendo un triángulo dado dos ángulos y un lado (ASA o AAS)

Si se dan dos ángulos y un lado no incluido, podemos construir el tercer ángulo (la suma es de 180°) y luego proceder con ASA.

  1. Dibujar un segmento de la longitud lateral dada; etiquetar sus puntos finales A y B.
  2. Al punto A, construir un ángulo igual a uno de los ángulos dados (utilizando el método de copiado de ángulo descrito anteriormente). A.
  3. Al punto B, construir el segundo ángulo dado en el mismo lado del segmento. Extender el rayo desde B.
  4. La intersección de los dos rayos es punto C. Conectar C a A y B para completar el triángulo.

Esta construcción es válida porque la suma de los dos ángulos construidos será inferior a 180°; de lo contrario no existe ningún triángulo.

Construyendo un Triángulo Equilateral

El triángulo especial más simple – todos los lados iguales, todos los ángulos 60°. Esta es la primera proposición de Euclid.

  1. Dibujar un segmento de línea AB de cualquier longitud.
  2. Coloque el punto de la brújula en A y establecer el radio a la longitud AB. Dibujar un círculo (o un arco por encima del segmento).
  3. Sin cambiar la brújula, coloca el punto en B y dibujar otro círculo. Los dos círculos se intersecten en dos puntos; elegir el que está por encima del segmento y etiquetarlo C.
  4. Serie de sesiones de dibujo AC y BC. Triángulo ABC es equilátero.

Por qué funciona: Ambos círculos tienen radio igual a AB, así que AC = AB y BC = AB; por transitividad, las tres partes son iguales.

Construyendo un Triángulo Isosceles con Base Especificada e Igualdad de lados

Un triángulo isosceles tiene dos lados iguales. Dada la longitud de la base y la longitud de los lados iguales:

  1. Dibuja el segmento base AB.
  2. Establece la brújula a la longitud de los lados iguales.
  3. Coloque el punto de la brújula en A y dibujar un arco sobre la base.
  4. Coloque el punto de la brújula en B y dibujar otro arco intersectando el primero. Etiqueta la intersección C.
  5. Conectar C a A y B.

Si la longitud de la misma cara no es mayor que la mitad de la base, los arcos no se intersecarán, y no existe triángulo isosceles con esas dimensiones.

Construyendo un triángulo derecho (Hypotenuse y Una pierna dada)

Un triángulo derecho contiene un ángulo de 90°. Una construcción confiable utiliza el teorema de Thales: un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

  1. Dibujar la hipotenusa dada como un segmento AB. Construir su bisector perpendicular para encontrar el punto medio M.
  2. Con centro M y radio MA (o MB), dibujar un círculo (el semicírculo en AB).
  3. Ponga la brújula a la longitud de la pierna dada. Coloque el punto en A (o en B) y dibujar un arco intersectando el semicircle. Etiquetar la intersección C.
  4. Conectar C a A y B. Ángulo ACB es un ángulo recto porque C miente en el círculo con diámetro AB.

Este método produce un triángulo derecho único, siempre que la longitud de la pierna sea menor que la hipotenusa.

Alternativa: Construyendo un triángulo derecho de dos piernas

Si ambas piernas se dan, podemos construir una línea perpendicular a una pierna en su punto final.

  1. Dibuja la pierna base AB. En punto A, construir una línea perpendicular utilizando el método estándar (por ejemplo, construir el perpendicular a través de un punto en una línea).
  2. En el perpendicular, utilice la brújula para marcar la longitud de la segunda pierna, obteniendo punto C.
  3. Conectar C a B. Triángulo ABC es un triángulo derecho con el ángulo recto A.

Construyendo un Triángulo 30‐60‐90

Un triángulo de 30-60-90 tiene ángulos de 30°, 60° y 90°. Sus lados están en la relación 1 : √3 : 2. La construcción utiliza un triángulo equilátero como punto de partida.

  1. Construir un triángulo equilátero ABC con longitud lateral igual a la hipotenusa deseada (el lado más largo).
  2. Ángulo de bisecto BAC (el ángulo de 60° en el vértice A). Usar la construcción bisector estándar del ángulo: dibujar un arco centrado en A cortar ambos lados del ángulo; luego dibujar dos arcos interseccionantes de esos puntos de intersección; la línea desde A a través de la intersección es el bisector.
  3. Que el bisector se reúna con el lado BC punto D. Triángulo ABD es un triángulo 30‐60‐90: ángulo BAD = 30°, ángulo ABD = 60° (desde ABC es de 60°, y ángulo ADB = 90°.

También puede construir un 30‐60‐90 directamente creando una línea perpendicular y copiando un ángulo de 60° desde el punto de vista final.

Construyendo un Triángulo 45-45-90 (Isosceles derecho)

Un triángulo de 45-45-90 tiene dos patas iguales y una hipotenusa √2 veces la longitud de la pierna. La construcción es directa.

  1. Dibuja un segmento de línea para servir como una pierna. En un punto final, construir una línea perpendicular.
  2. Con la brújula fijada a la longitud de la pierna, marca esa distancia en el perpendicular desde el mismo punto final; etiqueta el nuevo punto C.
  3. Conectar C al otro punto final de la base (B). Triángulo ABC tiene un ángulo recto A y piernas AB = AC, por lo que los ángulos base son de 45° cada uno.

Construyendo la Altitud, Medianos y Bisectores Angle de un Triángulo

Aunque no es un tipo de triángulo en sí, construir estos cevianos es una extensión común. La altitud de un vértice es la línea a través de ese vértice perpendicular al lado opuesto. El medio va al punto medio del lado opuesto, que se puede encontrar mediante la construcción del bisector perpendicular de ese lado. El bisector del ángulo se construye como se describe para el triángulo de 30-60-90. Estas tres líneas son concurrentes en el centro respectivamente computa

Consejos prácticos para construcciones precisas

  • Mantenga el lápiz de la brújula afilado y la bisagra ajustada para evitar cambios de radio.
  • Dibuja arcos y líneas de luz; oscurecer sólo después de que la construcción sea verificada.
  • Siempre marca puntos a medida que los creas para evitar confusión.
  • Si un arco es demasiado pequeño, la intersección puede ser poco clara – elegir un radio más grande cuando sea posible.

Significado histórico y educativo

La disciplina de la construcción de la brújula y la escarpada fue perfeccionada por los antiguos griegos y posteriormente se convirtió en una piedra angular de la educación geometría formal. Elementos comienza con la construcción de un triángulo equilátero (Proposición I.1), por buena razón: es la primera prueba notrivial de que existe tal triángulo. Durante siglos, dominar estas construcciones se consideró esencial para una educación liberal. Hoy, siguen siendo una poderosa herramienta para desarrollar el pensamiento lógico y una comprensión profunda de las relaciones geométricas. Para más lectura, vea la Artículo de Wikipedia sobre compás y construcciones de hendidura y Euclides Elementos.

Conclusión

Construir triángulos específicos usando sólo una brújula y una recta es una práctica geométrica atemporal que revela la estructura lógica subyacente de las formas que damos por sentado. Desde el triángulo equilátero más simple hasta las proporciones precisas de un triángulo de 30-60-90, cada construcción es una prueba de miniatura que ciertos objetos geométricos pueden existir y ser determinados únicamente.

Para instrucciones más detalladas sobre construcciones específicas, consulte Obras de Matemáticas Open Referencia o NRICH para actividades interactivas.