Das Gesetz des Kosinus ist ein Eckpfeiler der Trigonometrie, indem es den Satz des Pythagoras auf spitze und stumpfe Dreiecke erweitert. Indem wir die Kosinusfunktion nutzen, können wir dieses Gesetz in mehreren geometrischen Rahmen ableiten, einschließlich der euklidischen Ebene, Koordinatensysteme und gekrümmten Oberflächen wie Kugeln. Dieser Artikel bietet eine umfassende Erforschung dieser Ableitungen und zeigt, wie der Kosinus als Brücke zwischen Seitenlängen und Winkeln in verschiedenen Umgebungen dient.

Das Gesetz des Cosinus in der euklidischen Geometrie

In einem Standard-Euklidischen Dreieck mit Seiten a, b, und c, und Winkel C gegenüberliegende Seite cDas Gesetz des Cosinus wird ausgedrückt als:

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

Diese Formel verallgemeinert den Satz des Pythagoras: wenn C = 90°, cos 90° = 0, reduzierend auf c2 = a2 + b2Die Ableitung beruht auf der Konstruktion senkrechter Tropfen, die rechtwinklige Dreiecke erzeugen, so dass die Cosinusdefinition benachbarte seitliche Vorsprünge mit dem eingeschlossenen Winkel verbinden kann.

Koordinatenbasierte Ableitung

Ortsvertex C am Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems. a entlang der positiven x-Achse von C bis B, so Punkt B = ()a, 0. Punkt A befindet sich in ()b Cos C, b Sinus C, wobei b ist die Länge der Seite AC. Die Seite c ist der Abstand zwischen den Punkten A und B. Unter Verwendung der Entfernungsformel:

c2 = ()a – b Cos C)2 + (0 –) b Sinus C)2

Expanding gibt:

c2 = a2 – 2ab Cos C + b2 Cos2 C + b2 Sinus2 C

Seit der Sünde2 C + cos2 C = 1, dies vereinfacht direkt auf c2 = a2 + b2 – 2ab Cos CDieser Ansatz zeigt auf anschauliche Weise, wie die Kosinusfunktion von der projizierten Seite aus entsteht. b auf die zur Seite ausgerichtete Achse a.

Ableitung mit Vector Dot Produkten

Eine kraftvolle und elegante Ableitung verwendet Vektoralgebra. Seiten als Vektoren darstellen: u und v werden Vektoren aus dem Scheitelpunkt C zu den Eckpunkten A und B dann Seite c entspricht dem Vektor u – v. Berechne die Quadratlänge:

c2 = |u – v|2 = ()u – v) · (u – v) = |u|2 + |v|2 – 2 u · v

Das Dot-Produkt ist definiert als u · v = |u||v| cos C = ab Cos C. Durch Substitution erhält man die gleiche Formel:

c2 = a2 + b2 – 2ab Cos C

Diese Methode hebt die geometrische Bedeutung des Cosinus als Skalierungsfaktor für die Projektion einer Seite auf eine andere hervor. Diese Erklärung.

Anwendungen in der Koordinatengeometrie

In der Koordinatengeometrie berechnet das Gesetz des Cosinus Abstände und Winkel zwischen zwei beliebigen Punkten, auch wenn das Dreieck nicht rechtwinklig ist. P()x1, y1 Q()x2, y2 und R()x3, y3), die Entfernung PQ kann mit den Koordinaten und dem Winkel at ausgedrückt werden RZum Beispiel, um den Winkel zu finden R, verwenden Sie das Punktprodukt von Vektoren aus R bis P und R bis Q:

Cos R = ()P – R) · (Q – R) . / (|)P – R| |Q – R|

Dies ist direkt aus dem Gesetz des Kosinus abgeleitet und ist in Bereichen wie Computergrafik für die Kollisionserkennung und Physik für die Zersetzung von Kräften von wesentlicher Bedeutung. Für eine praktische Anwendung sollten Sie die Bestimmung des Abstands zwischen zwei Schiffen aufgrund ihrer Orientierung von einem Leuchtturm in Betracht ziehen - ein klassisches Navigationsproblem, das auf diesem Gesetz beruht.

Sphärische Geometrie und das sphärische Gesetz des Cosinus

Auf der Oberfläche einer Kugel werden Dreiecke durch Kreisbögen großer Kreise gebildet. Das euklidische Gesetz des Cosinus gilt nicht, sondern verallgemeinert sich auf die sphärisches Gesetz des CosinusFür ein sphärisches Dreieck mit Seiten a, b, c (gemessen als Winkel im Zentrum der Kugel) und Winkel C an der gegenüberliegenden Seite des Scheitels cDas Gesetz besagt:

cos c = cos a · cos b + sin a · sin b · cos C

Diese Formel reduziert sich auf das euklidische Gesetz, wenn die Seiten im Verhältnis zum Radius der Kugel klein sind, wie cos x ≈ 1 – x2/2 und Sinus x ≈ x für Kleinkinder xDie Ableitung verwendet das Punktprodukt von Vektoren vom Mittelpunkt der Kugel zu den Eckpunkten des Dreiecks auf der Einheitskugel, z. B. Vektoren lassen. A, B, und C Zeigen Sie auf die Eckpunkte von der Mitte. c Winkel zwischen A und B, so cos c = A · B. Durch Ausdruck A und B in Bezug auf C Dieses Gesetz ist in der Astronomie für die Berechnung der Entfernungen zwischen Sternen, in der Geodäsie für die Kartierung und in der globalen Navigation von entscheidender Bedeutung. Wolfram MathWorld Seite.

Ableitung des kugelförmigen Gesetzes aus dem euklidischen Gesetz

Man denke an ein Dreieck auf einer Einheitskugel. Senkrechte von einem Scheitelpunkt zur gegenüberliegenden Seite entlang großer Kreise fallen lassen. Mit der Kosinusdefinition für sphärische rechtwinklige Dreiecke – wobei eine Seite über den Kosinus eines benachbarten Winkels ausgedrückt werden kann – kann man algebraisch manipulieren, um das sphärische Gesetz zu erreichen. Alternativ kann man die Rotation von Koordinatenachsen verwenden. Der Hauptunterschied zur euklidischen Geometrie besteht darin, dass die Summe der Winkel 180° übersteigt und das Gesetz Sinusbegriffe neben dem Kosinus einführt, die die Krümmung widerspiegeln.

Vergleichen Sie dies mit Das hyperbolische Gesetz des Cosinus für negativ gekrümmte Räume.

Nicht-euklidische Geometrien und Verallgemeinerungen

Das Muster des Kosinusgesetzes reicht über die Sphären hinaus bis hin zur hyperbolischen Geometrie, wo die Oberflächen konstante negative Krümmung haben.

cosh c = cosh a · cosh b – sinh a · sinh b · cosc

Hier ersetzen hyperbolische Funktionen trigonometrische Funktionen, die die Geometrie einer sattelförmigen Oberfläche widerspiegeln. Dieses Gesetz ergibt sich aus der Metrik der hyperbolischen Ebene und ist in der Relativitätstheorie und komplexen Analyse wesentlich. Die Ableitung folgt einem ähnlichen Vektoransatz, jedoch im Rahmen des hyperbolischen Raums, oft unter Verwendung des Minkowski-Modells. Berichterstattung der Khan Academy Grundgesetz vor der Erforschung fortgeschrittener Formen.

Praktische Beispiele und Problemlösung

Um das Verständnis zu verfestigen, betrachten Sie ein Dreieck mit Seiten a = 7 cm, b = 10 cm und Winkel C = 60°. Mit dem euklidischen Gesetz: c2 = 72 + 102 – 2 · 7 · 10 · cos 60° = 49 + 100 – 140 · 0,5 = 149 – 70 = 79, also c = √79 ≈ 8,89 cm. Im sphärischen Kontext, wenn gleiche Seitenlängen Bogenlängen auf einer Kugel mit Radius 1 darstellen, und C = 60°, dann cos c = cos 7° · cos 10° + sin 7° · sin 10° · cos 60°. Umrechnen in Radianten und Rechenerträge c in Radianten, die dann durch Multiplikation mit dem Radius der Kugel in lineare Entfernungen umgewandelt werden können.

Für ein Koordinatengeometrieproblem: Den Abstand zwischen den Punkten (2,3) und (5,7) mit dem Winkel in (0,0) ermitteln. u = (2,3), v Der Winkel zwischen ihnen ist cos θ = (2·5 + 3·7)/(√(4 + 9)·√(25 + 49)) = (10 + 21)/(√13 · √74) = 31/√962 ≈ 0,9998. Dann wird das Gesetz der Kosinusse mit den Seiten √13 und √74, die dritte Seite zum Quadrat = 13 + 74-2·√13 · √74, die dritte Seite ist das Gesetz der Kosinusse mit den Seiten √13 und √74, und die dritte Seite ist der Abstand zwischen den Punkten, was 5. Richtig ist: Mit dem Gesetz der Kosinusse bei (0,0): c2 = a2 + b2 - 2ab cos θ = 13 + 74-2·√74, 31/√13·74 = 87 - 2·31 = 87-62·0,97 = 25, also c=5. Dies bestätigt die Wirkung des Gesetzes. Diese Übung verdeutlicht die Bedeutung der sorgfältigen Anwendung.

Schlussfolgerung

Die Kosinus-Funktion bildet einen verbindenden Faden für die Ableitung des Gesetzes der Kosinusse über euklidische, koordinaten-, sphärische und hyperbolische Geometrien. Jede Ableitung verstärkt die Beziehung zwischen Seitenlängen und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels, sei es durch senkrechte Tropfen, Vektoralgebra oder gekrümmte Raumformulierungen. Das Verständnis dieser Kontexte vertieft das Verständnis von Dreiecksbeziehungen und stattet Mathematiker, Wissenschaftler und Ingenieure mit Werkzeugen für eine Vielzahl von Problemen aus - von der Messung von Entfernungen auf Karten bis zur Navigation im Kosmos. Der umfassende Wikipedia-Artikel Es enthält mehrere Beweise und Geschichte.