Die negative Binomialverteilung ist ein vielseitiges Wahrscheinlichkeitsmodell, das die geometrische Verteilung erweitert und eine flexible Alternative zur Poisson-Verteilung bietet, wenn Daten eine Überverteilung aufweisen. Im Gegensatz zur Binomialverteilung, die Erfolge in einer festen Anzahl von Studien zählt, zählt das negative Binomial die Anzahl der Fehler, die beobachtet werden, bevor eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer Sequenz unabhängiger Bernoulli-Studien auftritt. Dies macht es besonders nützlich in Bereichen von Gesundheitswesen und Herstellung bis Versicherung und Marketing, wo Analysten Wartezeiten, Anzahl von Ereignissen oder das Risiko seltener Ergebnisse modellieren müssen.

Was ist die negative Binomverteilung?

Die negative Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Anzahl von Fehlern (oder, je nach Parametrierung, die Gesamtzahl der Versuche) auftritt, bevor eine festgelegte Anzahl von Erfolgen erreicht wird. Jede Studie hat eine konstante Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\), und die Versuche sind unabhängig. Die Verteilung wird manchmal als "Pascalverteilung" oder "Polyaverteilung" in Bezug auf ihre historische Entwicklung bezeichnet.

Formal, wenn wir definieren:

  • r = die erforderliche Anzahl von Erfolgen (eine positive ganze Zahl),
  • p = die Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem einzelnen Versuch,
  • X = Anzahl der Fehler vor dem r-ten Erfolg,

dann ist die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (PMF):

\(P(X = k) = \binom{k + r - 1}{k} \cdot (1-p)^k \cdot p^r\), für \(k = 0, 1, 2, \ldots\)

Hier zählt \(\binom{k + r - 1}{k}\) die Anzahl der Möglichkeiten, \(k\)-Ausfälle und \(r-1\)-Erfolge vor dem endgültigen Erfolg zu arrangieren.

  • Mittelwert: \(\mu = \frac{r(1-p)}{p}\)
  • Varianz: \(\sigma^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}\)

Beachten Sie, dass die Varianz immer größer als der Mittelwert ist (da \(1/p > 1\) für \(p) ist)<1\)), which makes the negative binomial a natural choice for modelling overdispersed count data.

Schlüsselparameter und ihre Interpretation

Das Verständnis der beiden Parameter \(r\) und \(p\) ist entscheidend für die korrekte Anwendung der Verteilung.

Parameter r: Die Zielanzahl der Erfolge

Im klassischen negativen Binom ist \(r\) eine feste ganze Zahl. Ein größeres \(r\) bedeutet, dass wir vor dem Stoppen mehr Erfolge benötigen, was sowohl die erwartete Anzahl von Ausfällen als auch die Verteilung erhöht. Wenn \(r = 1\) reduziert sich das negative Binom auf die geometrische Verteilung (warten auf den ersten Erfolg).

In der modernen statistischen Praxis wird \(r\) oft als positive reelle Zahl zugelassen, was eine flexiblere Modellierung der Varianz ermöglicht. NB2 Version, und die PMF verwendet die Gammafunktion anstelle von Binomialkoeffizienten.

Parameter p: Die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs

Eine hohe Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) bedeutet, dass Erfolge wahrscheinlich sind, so dass nur wenige Fehler erwartet werden, bevor \(r\) Erfolge erreicht werden. Umgekehrt drückt ein niedriger \(p\) (z. B. \(p = 0,1\)) die erwartete Anzahl von Fehlern höher und macht die Verteilung rechtsverzerrter. Das Zusammenspiel von \(r\) und \(p\) ermöglicht es dem negativen Binom, sowohl Daten mit niedriger Dispersion als auch mit hoher Dispersion zu modellieren.

Praktische Beispiele und Anwendungen

Die negative Binomialverteilung erscheint in vielen realen Kontexten, in denen die Anzahl der Ereignisse von Interesse ist und die Varianz den Mittelwert übersteigt.

Gesundheitsversorgung und Epidemiologie

  • Anzahl der Krankenhausbesuche vor der Diagnose: Ein Patient kann mehrere Termine (Ausfälle) benötigen, bevor eine korrekte Diagnose (Erfolg) gestellt wird.
  • Krankheitsinzidenz in kleinen Gebieten: Die Anzahl der Neuerkrankungen einer seltenen Krankheit in einer bestimmten Region zeigt oft eine Überverteilung im Vergleich zu einem Poisson-Modell. Epidemiologen verwenden negative Binomialregression, um zusätzliche Variationen aufgrund unbeobachteter Risikofaktoren zu berücksichtigen.
  • Klinische Prüfungen: In einer Studie mit einer neuen Behandlung kann die Anzahl der unerwünschten Ereignisse vor einer positiven Reaktion modelliert werden, was dazu beiträgt, Kompromisse zwischen Wirksamkeit und Sicherheit zu bewerten.

Qualitätskontrolle und Fertigung

  • Defekte, bevor eine Charge die Inspektion besteht: Die Anzahl der defekten Gegenstände (Ausfälle), die vor dem Erreichen einer vorbestimmten Anzahl an akzeptablen Einheiten (Erfolge) gefunden wurden, folgt einer negativen Binomialverteilung.
  • Zuverlässigkeitsprüfung: Ingenieure können Komponenten testen, bis eine feste Anzahl von Fehlern auftritt, und dann die Fehlerrate schätzen. Das negative Binom passt hier natürlich, weil die Gesamtzahl der getesteten Komponenten zufällig ist.

Marketing und Customer Analytics

  • Verkaufsgespräche, bis ein neuer Kunde erworben wird: Ein Verkäufer benötigt möglicherweise viele Kontakte (Ausfälle), bevor er einen Deal abschließt (Erfolg), die Anzahl der erfolglosen Anrufe kann modelliert werden, um die Ressourcenzuweisung zu optimieren.
  • Kundenabwanderung: Die Anzahl der Serviceinteraktionen vor dem Abbruch eines Kunden (Ausfall für das Unternehmen) kann als negatives Binom modelliert werden, wobei "Erfolg" als Retention-Ereignis definiert wird.

Versicherungs- und Risikomanagement

  • Häufigkeit der Forderungen: Versicherungsgesellschaften modellieren oft die Anzahl der von einem Versicherungsnehmer eingereichten Ansprüche über ein Jahr. Die negative Binomialverteilung behandelt die Überverteilung besser als die Poisson und erfasst die Unterschiede zwischen Fahrern, Haushalten oder Unternehmen.
  • Versicherungsmathematische Wissenschaft: Die Verteilung wird in der Glaubwürdigkeitstheorie und für die Preisgestaltung von Versicherungsprämien verwendet, wenn frühere Schadensdaten eine hohe Variabilität aufweisen.

Sportanalysen

  • Tore im Fußball oder Punkte im Hockey: Die Anzahl der Tore, die ein Team pro Spiel erzielt, weist oft eine Überverteilung im Vergleich zu einem Poisson-Modell auf. Negative Binomialregression eignet sich besser für die Vorhersage von Spielergebnissen.
  • Pitch zählt im Baseball: Die Anzahl der Pitches (Trials), bevor ein Pitcher eine bestimmte Anzahl von Outs (Erfolge) aufzeichnet, kann modelliert werden, was das Workload-Management unterstützt.

Verhältnis zu anderen Distributionen

Die negative Binomialverteilung ist eng mit mehreren anderen Wahrscheinlichkeitsmodellen verbunden.

Geometrische Verteilung

Wenn \(r = 1\) reduziert sich das negative Binom auf die geometrische Verteilung, die die Anzahl der Fehler vor dem ersten Erfolg modelliert. Dies ist der einfachste Fall, der oft für die Analyse von "Zeit bis zum ersten Ereignis" verwendet wird.

Poisson-Verteilung

Das Modell der negativen Binomialverteilung und der Poissonverteilung zählt Ereignisse. Allerdings nimmt das Poisson an, dass der Mittelwert der Varianz entspricht, während das negative Binomial Varianz > Mittelwert erlaubt. Tatsächlich kann das negative Binom als eine Mischung von Poissonverteilungen abgeleitet werden, wobei der mittlere Parameter einer Gammaverteilung folgt. Diese hierarchische Perspektive erklärt, warum das negative Binom eine natürliche Wahl ist, wenn die Population heterogen ist.

Binomverteilung

Wenn man Erfolge/Misserfolge tauscht und die Stoppregel umkehrt, ergänzen sich die beiden Verteilungen. Beide sind diskret und basieren auf Bernoulli-Versuchen.

Gamma-Poisson-Mischung

Wie bereits erwähnt, wenn \(Y|\lambda \sim \text{Poisson}(\lambda)\) und \(\lambda \sim \text{Gamma}(\alpha, \beta)\) dann ist die Randverteilung von \(Y\) negativ binomial mit \(r = \alpha\) und \(p = \beta/(1+\beta)\). Diese Formulierung wird in Bayes'schen hierarchischen Modellen und in der Ökologie für Artenfülle verwendet.

Anpassung der negativen Binomverteilung an Daten

In der Praxis haben Sie häufig Zählungen beobachtet und möchten die Parameter \(r\) und \(p\) (oder äquivalent den Mittelwert und einen Dispersionsparameter) schätzen.

Methode der Momente

Stellen Sie den Stichprobenmittelwert \(\bar{x}\) und die Stichprobenvarianz \(s^2\) gleich dem theoretischen Mittelwert und der Varianz ein und lösen Sie dann:

\(\bar{x} = \frac{r(1-p)}{p}\), \(s^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}\).

Dies ergibt \(p = \bar{x} / s^2\) und \(r = \bar{x}^2 / (s^2 - \bar{x})\). Beachten Sie, dass \(s^2\) für eine gültige negative Binomialanpassung größer sein muss als \(\bar{x}\).

Maximale Wahrscheinlichkeitsschätzung (MLE)

MLE wird aus Gründen der Genauigkeit bevorzugt. Es beinhaltet die numerische Optimierung der Log-Likelihood-Funktion, die von der PMF abgeleitet wird. Viele statistische Softwarepakete (R, Python, Stata) bieten integrierte Funktionen für negatives Binomial-MLE, einschließlich in R und in Statistikmodellen (Python).

Warum ist die negative Binomverteilung so nützlich?

Das negative Binom schließt die Lücke zwischen dem einfachen geometrischen und dem überdispersen Poisson-Modell. Seine Flexibilität ermöglicht es Forschern und Analysten:

  • Modell über Dispersion: In den meisten realen Zähldaten übersteigt die Varianz den Mittelwert. Der Poisson ist zu restriktiv; das negative Binom bietet eine bessere Passform, ohne dass ein separates Null-aufgeblasenes Modell erforderlich ist.
  • Integrierte Heterogenität: Durch die Interpretation von \(r\) als Formparameter, der sich auf die zugrunde liegende Gammamischung bezieht, erfasst die Verteilung auf natürliche Weise unbeobachtete Unterschiede zwischen Individuen oder Einheiten.
  • Geben Sie interpretierbare Parameter an: Der Mittelwert \(\mu\) und der Dispersionsparameter \(\alpha = 1/r\) (in einigen Parametrisierungen) sind leicht zu kommunizieren für Nicht-Statistiker.
  • Als Baustein für Regressionsmodelle dienen: Negative Binomialregression erweitert die Idee, Kovariaten zu behandeln, so dass es ein Standardwerkzeug in Epidemiologie, Ökologie und Ökonomie.

Softwareimplementierungen und Ressourcen

Sie können mit der negativen Binomialverteilung in den meisten statistischen Umgebungen arbeiten:

  • R: Die Funktionen , , , und für die Regression sind wählbar.
  • Python: Scipys stellt Wahrscheinlichkeitsfunktionen bereit; statsmodels hat in .
  • Excel: Die Funktion gibt die Wahrscheinlichkeitsmasse für gegebene Eingaben zurück.
  • Stan, WinBUGS, JAGS: Bayessche Pakete enthalten das negative Binomial als eingebaute Verteilung für hierarchische Modelle.

Für weitere Lektüre, die Wikipedia-Artikel über die negative Binomialverteilung bietet eine umfassende mathematische Behandlung, einschließlich alternativer Parametrisierungen. Originalpapier von Greenwood und Yule (1920) Für moderne Anwendungen in der Ökologie, siehe Ver Hoef und Boveng (2007) Quasi-Likelihood versus negatives Binom.

Schlussfolgerung

Die negative Binomialverteilung ist ein grundlegendes Werkzeug für jeden, der mit Zähldaten arbeitet, insbesondere wenn die Varianz größer ist als der Mittelwert. Seine Fähigkeit, die Anzahl der Fehler vor einer festen Anzahl von Erfolgen zu modellieren, macht es direkt auf Wartezeitprobleme anwendbar, während seine Gamma-Poisson-Mischungsinterpretation einen natürlichen Rahmen für den Umgang mit Überdispersion bietet. Von Gesundheits- und Qualitätskontrolle bis hin zu Marketing und Sportanalyse bietet das negative Binom einen flexiblen, interpretierbaren und rechentechnisch tragfähigen Ansatz. Durch das Verständnis seiner Parameter, Beziehungen zu anderen Verteilungen und praktischen Anpassungsmethoden können Analysten bessere Entscheidungen treffen, basierend auf probabilistischen Modellen, die die reale Variabilität widerspiegeln.