Die Cosinusregel für nicht-rechte Dreiecke beherrschen

Während der Satz des Pythagoras rechtwinklige Dreiecke elegant auflöst, sind die meisten Dreiecke der realen Welt nicht rechtwinklig. Vermessungsingenieure, Ingenieure, Navigatoren und Computergrafikprogrammierer stehen regelmäßig Dreiecken mit Winkeln gegenüber, die nicht 90° betragen. Kosinusregel (auch genannt) Das Gesetz der CosinenDiese Regel verbindet alle drei Seiten eines Dreiecks mit dem Kosinus eines bestimmten Winkels, so dass man unbekannte Längen oder Winkel berechnen kann, auch wenn kein rechter Winkel existiert. Die Beherrschung der Kosinusregel bildet die Grundlage für fortgeschrittenere Geometrie und Trigonometrie, und sie erscheint häufig in der Physik, Astronomie und sogar Robotik.

In diesem Leitfaden werden wir die Formel eingehend untersuchen, Schritt für Schritt Beispiele für das Finden einer fehlenden Seite und eines unbekannten Winkels durchgehen, den mehrdeutigen Fall diskutieren und praktische Anwendungen aufzeigen. Am Ende können Sie die Cosinusregel selbstbewusst auf jedes nicht rechtwinklige Dreieck anwenden.

Das Gesetz der Cosinus-Formel

Die Cosinusregel wird oft in drei äquivalenten Formen angegeben, je nachdem, welchen Winkel Sie kennen oder benötigen. a, b, und c, und dem Winkel, der jeder Seite gegenüberliegt, der durch den Großbuchstaben der Seite bezeichnet wird (Winkel) A gegenüberliegende Seite aWinkel B gegenüberliegende Seite b, und Winkel C gegenüberliegende Seite c), die Regel lautet:

  • a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
  • b2 = a2 + c2 2ac cos B
  • c2 = a2 + b2 2ab cos C

Egal welche Version Sie verwenden, das Muster ist das gleiche: das Quadrat einer Seite ist gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten minus dem doppelten Produkt dieser Seiten und dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels (der Winkel zwischen ihnen). C ist 90°, dann cos 90° = 0, und die Formel reduziert sich auf c2 = a2 + b2 - das bekannte Pythagoräische Theorem.

Wann Sie die Cosinusregel verwenden sollten

Die Cosinus-Regel ist die Go-to-Methode in zwei Hauptszenarien:

  1. Wenn Sie zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel (SAS) kennen - Sie können die dritte Seite direkt finden.
  2. Wenn Sie alle drei Seiten kennen (SSS) — Sie können jeden Winkel finden, indem Sie die Formel neu anordnen.

Es gibt auch ein drittes, weniger verbreitetes Szenario: Wenn Sie zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel (SSA) kennen, kann die Kosinusregel helfen, zwischen den mehrdeutigen Fällen zu entscheiden, die mit dem Gesetz von Sines auftreten.

Warum nicht immer das Gesetz der Sines verwenden?

Die Gesetz von Sines Es ist elegant, wenn man ein Winkelseitenpaar hat, aber es kämpft in SAS- und SSS-Situationen. Für SAS hat man kein komplettes entgegengesetztes Winkelseitenpaar. Für SSS hat man überhaupt keine Winkel. Die Kosinusregel füllt diese Lücken perfekt. Außerdem kann man, wenn man das Gesetz der Sines in einer SSA-Konfiguration verwendet, zwei mögliche Dreiecke haben (den mehrdeutigen Fall).

Die Kosinusregel, die eine quadratische Gleichung ist, kann diese Mehrdeutigkeit auflösen, indem sie eine einzigartige Lösung ergibt, weil Abstände positiv sein müssen und Winkel zur Dreiecksgeometrie passen müssen.

Für einen tieferen Vergleich siehe Mathe macht Spaß: Gesetz der Cosinen Das steht auch im Gegensatz zu den beiden Gesetzen.

Eine Seite finden, wenn Sie zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel (SAS) kennen

Wenn wir von Anfang bis Ende ein detailliertes Beispiel durchgehen, nehmen wir an, Sie haben die Aufgabe, die Entfernung eines Sees zu finden, messen Sie zwei Seiten entlang seines Ufers als a = 120 m und b = 85 mund der Winkel zwischen ihnen,γ) ist 47°. Die dritte Seite c ist die Entfernung über das Wasser.

  1. Identifizieren Sie die bekannten Werte:
    • Seite a = 120 m
    • Seite b = 85 m
    • Einschließlicher Winkel γ = 47° (zwischen a und b)
  2. Wählen Sie die richtige Formel: Wir brauchen Seite c entgegengesetzten Winkel γ, so verwenden wir c2 = a2 + b2 2ab cos γ.
  3. Ersatz und Berechnung:
    a2 = 1202 = 14,400
    b2 = 852 = 7,225
    2ab = 2 × 120 × 85 = 20,400
    cos 47° ≈ 0,681998 (mit einem Rechner)
    Also c2 = 14,400 + 7,225 – 20,400 × 0,681998
    = 21,625 – 13,912.76
    = 7,712.24
  4. Nehmen Sie die Quadratwurzel: c = √7,712,24 ≈ 87,82 m.

Somit ist die Entfernung über den See ungefähr 87,8 m. – Diese Art von Problem ist bei der Landvermessung häufig anzutreffen und verwendet häufig die Kosinusregel, da direkte Messungen über Wasser oder unebenes Gelände nicht praktikabel sind.

Ein weiteres SAS-Beispiel (mit Winkeln in Grad und Minuten)

Manchmal werden Winkel in Grad und Minuten angegeben, z. B. im Dreieck ABC, Seite b = 10 cmSeite c = 14 cm, und Winkel A = 35° 20'' (35 Grad und 20 Minuten). Seite finden a.

  • Umrechnen Sie den Winkel in Dezimalgrad: 35° 20' = 35 + (20/60) = 35,3333°.
  • cos 35,3333° ≈ 0,8152.
  • a2 = b2 + c2 2bc cos A = 102 + 142 – 2(10)(14)(0.8152) = 100 + 196 – 228.256 = 67.744.
  • a = √67,744 ≈ 8,23 cm.

Überprüfen Sie immer, ob Sie den richtigen Einschließwinkel verwenden. Für Seite a ist der Einschließwinkel der Winkel A, der zwischen den Seiten b und c liegt. Wenn Sie fälschlicherweise einen anderen Winkel verwendet haben, wäre das Ergebnis falsch.

Einen Winkel finden, wenn Sie alle drei Seiten kennen (SSS)

Wenn alle drei Seitenlängen bekannt sind, kann die Kosinusregel so umgestellt werden, dass sie für jeden Winkel aufgelöst wird. a = 7, b = 9, und c = 10 Lasst uns alle drei Winkel für die Praxis finden.

Winkel C (gegenüber liegende Seite c = 10)

  • Umlagerung: cos C = (a)2 + b2 – c2) / (2ab).
  • Zähler: 49 + 81 – 100 = 30.
  • Nenner: 2 × 7 × 9 = 126.
  • cos C = 30 / 126 ≈ 0,238095.
  • C = cos–1(0,238095) ≈ 76,2°.

Winkel B (gegenüber liegende Seite b = 9)

  • cos B = (a)2 + c2 – b2) / (2ac).
  • Zähler: 49 + 100 – 81 = 68.
  • Nenner: 2 × 7 × 10 = 140.
  • cos B = 68 / 140 = 0,485714.
  • B = cos–1(0,485714) ≈ 60,9°.

Winkel A (gegenüber liegende Seite a = 7)

  • cos A = (b)2 + c2 – a2) / (2bc).
  • Zähler: 81 + 100 – 49 = 132.
  • Nenner: 2 × 9 × 10 = 180.
  • cos A = 132 / 180 = 0,733333.
  • A = cos–1(0,733333) ≈ 42,9°.

Jetzt überprüfen: 76,2° + 60,9° + 42,9° = 180,0°, unsere Berechnungen sind konsistent mit der Dreieckwinkelsumme.

Die SSS-Methode ist ein Grundnahrungsmittel in der Navigation. Wenn Sie beispielsweise die Entfernungen zwischen drei Landmarken kennen, können Sie die Winkel berechnen, die für die Darstellung eines Kurses erforderlich sind. Eine Ressource wie Khan Academy's Law of Cosines Video Bietet visuelle Verstärkung dieser Schritte.

Die Cosinusregel und der mehrdeutige Fall (SSA)

Wenn man zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel (SSA) hat, kann das Gesetz der Sines zwei mögliche Dreiecke erzeugen (oder keine). Die Kosinusregel kann helfen, dies zu lösen. Angenommen, Sie kennen Seite a, Seite b und Winkel A (nicht zwischen ihnen). Sie können die Kosinusregel so einrichten, dass sie für Seite c auflöst, indem Sie die Tatsache verwenden, dass Seite a gleich der Seite sein muss, die dem Winkel A gegenüberliegt. Die Gleichung wird zu einer Quadratik in c:

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

Umlagerung: c2 – 2b cos A · c + (b)2 – a2) = 0.

Diese Quadratik kann Null, Eins oder zwei positive reelle Wurzeln für c haben. Jede positive Wurzel entspricht einem möglichen Dreieck. Im Gegensatz zum Gesetz der Sines, das mehrdeutige Winkel ohne Klarheit geben kann, sagt die Kosinusregel direkt, wie viele Dreiecke existieren, indem man sieht, wie viele positive Lösungen für die fehlende Seite gefunden werden.

Wenn man beispielsweise a = 10, b = 8 und A = 30° erhält, dann erhält man durch den Ersatz in die quadratische Gleichung c ≈ 13,7 (eine Lösung). Wenn a = 6, b = 8 und A = 30°, könnte die quadratische Gleichung c ≈ 11,1 oder c ≈ 3,6 ergeben – zwei mögliche Dreiecke. Dieser Ansatz ist robuster als sich nur auf die Sinusregel zu verlassen. BBC Bitesize: Die Cosinusregel Dazu gehören auch SSA-Beispiele.

Proof und Derivation

Wenn wir verstehen, woher die Kosinusregel kommt, kann das unsere Intuition vertiefen. cos A = x / c, so x = c cos ADie Höhe h kann auch mit Hilfe von Dreiecken ausgedrückt werden: h = c sin A (aus ABD) und auch mit Dreiecken BDC: h2 = a2 – (b – x)2.

Gleichsetzung der beiden Ausdrücke für h2:

c2 Sinus2 A = a2 – (b – c cos A)2.

Erweitern Sie die rechte Seite: a2 – (b)2 2bc cos A + c2 Cos2 A.

Rückrufsünde2 A = 1 – cos2 A, also linke Seite = c2 – c2 Cos2 A.

Links gesetzt = rechts:

c2 – c2 Cos2 A = a2 – b2 + 2bc cos A – c2 Cos2 A.

Die –c2 Cos2 A Bedingungen annullieren, so dass:

c2 = a2 – b2 + 2bc cos A.

Umlagerung: a2 = b2 + c2 2bc cos A. Dies ist die Kosinusregel.

Diese Ableitung zeigt, dass die Regel eine direkte Folge der Zerlegung des Dreiecks in zwei rechtwinklige Dreiecke und der Anwendung des Satzes des Pythagoras ist. Es erklärt, warum die Formel für jedes Dreieck funktioniert, nicht nur für akute; selbst für stumpfe Winkel, in denen cos A negativ wird, bleibt die Geometrie gültig.

Häufige Fehler und Tipps

  • Mit dem falschen Winkel: Stellen Sie sicher, dass der Winkel, den Sie einstecken, derjenige ist, der der Seite gegenüberliegt, für die Sie auflösen.
  • Zeichen des Cosinus: Cosinus kann negativ sein für Winkel über 90°. Das ist in Ordnung — die Formel behandelt es. Wenn Sie zum Beispiel ein stumpfes Dreieck mit einem Winkel von 120° haben, ist cos 120° = –0,5, was dazu führt, dass der Term -2ab cos γ positiv wird (weil -2ab(–0,5) = +ab).
  • Reihenfolge der Vorgänge: Berechnen Sie zuerst 2ab cos γ und subtrahieren Sie es dann von der Summe der Quadrate.
  • Rechnermodus: Stellen Sie sicher, dass Ihr Rechner auf Grad (oder Radiant, wenn dies Ihre Einheit ist) eingestellt ist.
  • SSS-Winkelgröße: Nachdem Sie einen Winkel gefunden haben, können Sie das Gesetz der Sines verwenden, um die anderen Winkel schneller zu finden, aber seien Sie sich des mehrdeutigen Falles mit der Sinusregel bewusst.
  • Einheitskonsistenz: Alle Seitenmaße müssen in den gleichen Einheiten liegen, und wenn Meter und Zentimeter gemischt werden, ist zuerst zu konvertieren.

Reale Anwendungen

Die Cosinusregel ist mehr als eine Übung im Klassenzimmer. Hier sind Felder, die sich täglich darauf verlassen:

  • Vermessung und Kartierung: Bestimmung von Entfernungen zwischen Punkten, die nicht direkt messbar sind, wie z. B. über Flüsse, Täler oder Landparzellen.
  • Navigation und Luftfahrt: Berechnung des Bodenabstands zwischen zwei Wegpunkten bei Lagen und zurückgelegten Strecken oder Bestimmung des Winkels zur Kurskorrektur.
  • Physik und Technik: Kräfte in Komponenten auflösen, Vektordreiecke analysieren, die nicht rechtwinklig sind, und Fachwerkstrukturen entwerfen.
  • Astronomie: Berechnung der Entfernungen zwischen Himmelskörpern unter Verwendung von Triangulation von der Erdoberfläche.
  • Computergrafik: Berechnung von Dreieckseigenschaften für 3D-Rendering, Kollisionserkennung und Raytracing, wobei Koordinaten beliebige Dreiecke bilden.

Zum Beispiel fliegt ein Flugzeug in Richtung 60° vom Flughafen A 200 km zum Punkt B, dreht sich dann 130° (relativ zu seiner vorherigen Richtung) und fliegt 150 km zum Punkt C. Der direkte Abstand von A nach C kann mit der Kosinusregel gefunden werden, wo Sie zwei Seiten (200 km und 150 km) und den eingeschlossenen Winkel kennen (der Winkel zwischen den beiden Beinen, der 180° – 130° + 60° beträgt? Eigentlich muss der Innenwinkel des Dreiecks berechnet werden, das durch den Weg gebildet wird - ein Standard-Navigationsproblem).

Weitere Beispiele aus der realen Welt finden Sie unter Open University: Die Cosine-Regel.

Praxisprobleme

Um Vertrauen aufzubauen, versuchen Sie diese selbst:

  1. Im Dreieck PQR ist p = 9 cm, q = 12 cm und Winkel R = 45°.
  2. Dreieck ABC hat Seiten AB = 8, BC = 15, CA = 17. Finden Sie den größten Winkel.
  3. Ein Schiff segelt 30 km östlich, dann 40 km nordöstlich (45° nördlich von Ost). Wie weit ist es von seinem Ausgangspunkt entfernt und was ist das Rückgrat?
  4. Zwei Kräfte von 50 N und 70 N wirken in einem Winkel von 60° zueinander. Bestimmen Sie die Größe der resultierenden (verwenden Sie die Kosinusregel auf das Kraftdreieck).

Antworten: (1) r ≈ 8,54 cm; (2) Winkel B (gegenüber liegende Seite CA = 17) ≈ 90° (es ist ein rechtwinkliges Dreieck, aber mit der Kosinusregel überprüfen); (3) Abstand ≈ 64,8 km, Lager ≈ 157,5° (oder 22,5° westlich von Süden); (4) resultierende ≈ 104,4 N.

Schlussfolgerung

Die Kosinusregel ist eine wesentliche Erweiterung der grundlegenden Trigonometrie, die die Möglichkeit eröffnet, nicht rechtwinklige Dreiecke zu lösen. Ihre Formel ist einfach, aber ihre korrekte Anwendung erfordert eine sorgfältige Identifizierung bekannter Seiten und Winkel. Ob Sie sich mit SAS- und SSS-Problemen befassen oder sich mit dem mehrdeutigen SSA-Szenario befassen, das Gesetz des Kosinus bietet einen zuverlässigen Weg zur Antwort. Durch das Üben mit verschiedenen Beispielen und das Verständnis ihrer Ableitung werden Sie das Vertrauen gewinnen, dieses Werkzeug in akademischen, beruflichen und alltäglichen Kontexten zu verwenden. Wenn Sie das nächste Mal einem Dreieck ohne rechten Winkel gegenüberstehen, denken Sie daran, dass die Kosinusregel Ihr Schlüssel ist, um das fehlende Stück zu finden.

Für weitere Studien, Besuch Mathe ist Fun Law of Cosines und Khan Academy’s Law of Cosines Einheit Beide bieten interaktive Tools und zusätzliche Probleme.